Question

Высота и образующая конуса относятся как 4: 5, а объем конуса 96П см3.Найти его полную поверхность

Answer 1

H- Высота конуса

L- образующa

r- радюс

V=1/3 So*H =96π

So=πr2=(3x)2π=9x2π

H=4x

96π=1/3Sp*H

96π=1/39x2π*4x

96π=12x3π // :12π

x3=8

x=2

r=3x

r=3*2=6

r=6cm

L=5x=5*2=10

L=10cm

H=4x=4*2=8cm

Sc=Sb+So

Sb=πrL+πr2

Sc=π*6*10+π62

Sc=60π+36π=96cm2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулами для объема и полной поверхности конуса.

Пусть \(h\) - высота конуса, \(l\) - образующая конуса, \(V\) - объем конуса.

Мы знаем, что соотношение между высотой и образующей конуса равно 4:5:

\[ \frac{h}{l} = \frac{4}{5} \]

Также известно, что объем конуса равен 96π см³:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( r \) - радиус основания конуса. Но так как у нас есть соотношение между \(h\) и \(l\), то мы можем выразить \(r\) через \(h\) и \(l\):

\[ r = \frac{3}{4}l \]

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{3}{4}l \right)^2 h \]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(h\):

\[ 96\pi = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{3}{4}l \right)^2 h \]

Упростим:

\[ 96\pi = \frac{1}{3} \pi \frac{9}{16} l^2 h \]

Умножим обе стороны на \(\frac{3}{\pi}\) и затем на \(\frac{16}{9}\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 32 \cdot 16 = l^2 h \]

\[ 512 = l^2 h \]

Теперь мы знаем, что \(l = \frac{5}{4}h\), поэтому мы можем подставить это в уравнение:

\[ 512 = \left( \frac{5}{4}h \right)^2 h \]

Решим это уравнение. Умножим обе стороны на \(\frac{16}{25}\), чтобы избавиться от дроби:

\[ \frac{16}{25} \cdot 512 = h^3 \]

\[ h^3 = \frac{16}{25} \cdot 512 \]

\[ h^3 = 327.68 \]

Теперь найдем высоту:

\[ h = \sqrt[3]{327.68} \]

\[ h = 8 \]

Теперь мы можем найти образующую \(l\):

\[ l = \frac{5}{4} \cdot 8 \]

\[ l = 10 \]

Теперь у нас есть высота \(h\) и образующая \(l\). Теперь можем найти полную поверхность конуса \(S\):

\[ S = \pi r^2 + \pi rl \]

\[ S = \pi \left( \frac{3}{4}l \right)^2 + \pi \left( \frac{3}{4}l \right)l \]

Подставим значения:

\[ S = \pi \left( \frac{3}{4} \cdot 10 \right)^2 + \pi \left( \frac{3}{4} \cdot 10 \right) \cdot 10 \]

\[ S = \pi \cdot \frac{225}{4} + \pi \cdot \frac{75}{2} \]

\[ S = \frac{225\pi}{4} + \frac{150\pi}{2} \]

\[ S = \frac{225\pi + 300\pi}{4} \]

\[ S = \frac{525\pi}{4} \]

Таким образом, полная поверхность конуса равна \( \frac{525\pi}{4} \) квадратных сантиметров.