Question

Точка K - середина ребра A1D1 куба ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку K и параллельно плоскости (AA1B1). Вычислите площадь этого сечения, если длина ребра куба равна 3см.

Answer 1

Надо из точки К провести отрезки, параллельные ребрам заданной плоскости - смотри рисунок в приложении.

Answer 2

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точку K и параллельно плоскости (AA1B1), мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдите координаты точки K, которая является серединой ребра A1D1 куба ABCDA1B1C1D1. Для этого можно воспользоваться формулой нахождения середины отрезка. Поскольку ребро A1D1 проходит через точки A1(1, 0, 0) и D1(1, 1, 1), координаты точки K будут:

K = ( (1 + 1) / 2, (0 + 1) / 2, (0 + 1) / 2 ) = ( 1/2, 1/2, 1/2 )

2. Постройте плоскость, проходящую через точку K и параллельную плоскости (AA1B1). Поскольку плоскость (AA1B1) проходит через точки A(0, 0, 0), A1(1, 0, 0) и B1(1, 1, 0), она имеет нормальный вектор, который можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости. Векторами будут:

v1 = A1 - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) v2 = B1 - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)

Нормальный вектор плоскости (AA1B1) будет:

n = v1 x v2 = (1, 0, 0) x (1, 1, 0) = (0, 0, 1)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку K и параллельную плоскости (AA1B1), будет иметь вид:

0 * (x - 1/2) + 0 * (y - 1/2) + 1 * (z - 1/2) = 0 z - 1/2 = 0 z = 1/2

Таким образом, уравнение плоскости будет z = 1/2.

3. Вычислите площадь сечения, определенного этой плоскостью и кубом. Поскольку плоскость параллельна грани ABCD куба, она делит эту грань на две равные части. Площадь одной части будет равна половине площади грани. Площадь грани ABCD равна длине ребра куба, возведенной в квадрат, то есть (3 см)^2 = 9 см^2. Таким образом, площадь сечения будет:

Площадь сечения = 1/2 * 9 см^2 = 4.5 см^2

Таким образом, площадь сечения куба, определенного плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости (AA1B1), будет равна 4.5 см^2.