Question

в куб со стороной а вписана сфера.Определить во сколько раз объем куба больше объема сферы.

Answer 1

Vкуба  =  а^3

Rсферы  =  а/2

Vсферы  =  4/3piR^3  =  4/3pi*(a/2)^3  =  4/3pi*a^3/8  =  pia^3/6

Vкуба / Vсферы  =  a^3 / (pia^3/6)   =   6/pi

 

Ответ.         6/pi.

Answer 2

Решение Вашего задания во вложении

Answer 3

Давайте обозначим через \(a\) длину ребра куба и через \(r\) радиус вписанной сферы. Также нам известно, что вписанная сфера касается граней куба.

Объем куба вычисляется по формуле: \(V_{\text{куба}} = a^3\).

Объем сферы вычисляется по формуле: \(V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3}\pi r^3\).

Радиус вписанной сферы равен половине длины диагонали куба. Диагональ куба можно найти, используя теорему Пифагора для трех сторон куба:

\[d^2 = a^2 + a^2 + a^2\]

\[d^2 = 3a^2\]

\[d = a\sqrt{3}\]

Радиус сферы \(r\) равен половине диагонали, то есть \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Теперь мы можем выразить объем куба и объем сферы в терминах длины ребра \(a\):

\[V_{\text{куба}} = a^3\]

\[V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3\]

Теперь давайте найдем отношение объема куба к объему сферы:

\[\frac{V_{\text{куба}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{a^3}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3}\]

Упростим это выражение:

\[\frac{V_{\text{куба}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{a^3}{\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8}}\]

Теперь сокращаем:

\[\frac{V_{\text{куба}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{a^3}{\frac{3}{2}\pi \cdot a^3 \cdot \sqrt{3}}\]

Теперь сокращаем \(a^3\):

\[\frac{V_{\text{куба}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{1}{\frac{3}{2}\pi \cdot \sqrt{3}}\]

Теперь умножаем числитель и знаменатель на \(\frac{2}{3}\) для удобства:

\[\frac{V_{\text{куба}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\pi \cdot \sqrt{3}}\]

Таким образом, объем куба больше объема вписанной сферы примерно в \(\frac{2}{3\pi\sqrt{3}}\) раза.