Question

Точки Б1 и С1 - середины сторон соответственно АБ и АС треугольника абс. Серединный перпендикуляр к отрезку Б1С1 пересекает сторону БС в точке К. Через вершину А проведена прямая, параллельная стороне БС и пересекающая продолжения отрезков КБ1 и КС1 в точках М и Н соответственно. а) Докажите, что треугольник КМН равновелик треугольнику АБС. б)Найдите радиус окружности, описанной около треугольника КМН, если АБ=18корней из 2,БС=48 и угол АБС=45

Answer 1

а.

1.Б1С параллелен БС (т.к. Б1С является средней линией по определению), следовательно, БС параллелен МН.

2. Рассмотрим треугольники ВВ1К и АВ1М. Эти треугольники равны по второму признаку, т.к.: (В1А=ВВ1(по условию), угол ВВ1К = угол АВ1М(как вертикальные), угол МАВ1= угол КВВ1 (т к. БС параллелен МН --> накрест лежащие углы)

3. Аналогично с трегольниками КС1С и НС1А. (они равны по второму признаку: АС1=СС1 , угол АС1Н= угол СС1К, угол С1АН = угол С1СК)

4. если треугольники равны, значит и из площади равны. Рассмотрим площадь треугольника МКН= МВ1А + АВ1КС1 + АС1Н = ВВ1К + АВ1КС1 + АС1Н= ВВ1К + АВ1КС1 + КСС1 = АВС (по чертежу). ч.т.д.

б. еще не решён)

Answer 2

Задача: Доказать, что треугольник KMN равновелик треугольнику ABC, и найти радиус окружности, описанной около треугольника KMN.

Решение:

a) Доказательство равновеликости треугольников KMN и ABC:

Для доказательства равновеликости треугольников KMN и ABC, мы можем использовать следующие факты:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку BC проходит через точку K. Это означает, что отрезок BK равен отрезку CK, и отрезок BK перпендикулярен отрезку CK.

2. Прямая, проведенная через вершину A и параллельная стороне BC, пересекает продолжения отрезков KB1 и KC1 в точках M и N соответственно.

3. Так как точки M и N лежат на продолжениях отрезков KB1 и KC1, соответственно, то отрезки AM и AN параллельны отрезкам BC и KB1.

4. Также, угол АБС равен 45 градусам.

Используя эти факты, мы можем доказать равновеликость треугольников KMN и ABC с помощью подобия треугольников:

У нас есть следующие соответствия между сторонами и углами треугольников KMN и ABC:

- КМ = АС (так как KM и АС - это стороны, перпендикулярные к отрезку BC) - MN = BC (так как MN и BC - это стороны, параллельные друг другу) - АМ = ВК (так как AM и ВК - это стороны, параллельные стороне BC) - АN = СК (так как AN и СК - это стороны, параллельные стороне BC) - Угол КМН = Угол АСВ (так как они соответственно вертикальные углы) - Угол КНМ = Угол ВАС (так как они соответственно вертикальные углы) - Угол МКН = Угол САВ (так как они соответственно вертикальные углы)

Исходя из этих соответствий, мы можем заключить, что треугольник KMN равновелик треугольнику ABC.

б) Нахождение радиуса окружности:

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника KMN, нам необходимо использовать формулу, связывающую радиус окружности с сторонами треугольника и его углами.

В данной задаче нам дано, что AB = 18√2, BC = 48 и угол АBC = 45 градусов.

Для начала, найдем стороны треугольника KMN:

Так как KM = AC, а AC = AB + BC, то KM = 18√2 + 48.

Аналогично, MN = BC = 48.

Теперь, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности:

Радиус окружности = (KM * MN * KN) / (4 * Площадь треугольника KMN)

Площадь треугольника KMN можно найти с помощью формулы Герона:

Площадь треугольника KMN = √(p * (p - KM) * (p - MN) * (p - KN))

где p - полупериметр треугольника KMN, который можно найти как:

p = (KM + MN + KN) / 2

Подставим известные значения и решим уравнение, чтобы найти радиус окружности.