Question

В треугольнике ABC даны две стороны 5см и 8см, дан угол между ними 120°. Найдите площадь окружности описанного около этого треугольника

Answer 1

A=5см;b=8см;∠С=120°;
по теореме косинусов находим сторону с
c²=a²+b²-2a·bcosC
c=√(5²+8²-2·5·8·cos(π/2 +30°))=√25+64+80·1/2=√129(см);
c/sin120°=2R
2R=√129/sin(π/2+30°)=√129/cos30°=√129/(√3/2)=2√43 ;
R=√43(см);
S=πR²=43·π(см²)

Answer 2

Для начала найдем третью сторону треугольника ABC, используя закон косинусов. По формуле:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где \(c\) - третья сторона, \(a\) и \(b\) - известные стороны, \(C\) - угол между известными сторонами.

Подставим известные значения:

\[ c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) \]

Решим для нахождения \(c\):

\[ c^2 = 25 + 64 - 80 \cdot (-0.5) \] \[ c^2 = 25 + 64 + 40 \] \[ c^2 = 129 \] \[ c = \sqrt{129} \] \[ c \approx 11.357 \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, можно использовать формулу описанной окружности для треугольника:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \( R \) - радиус описанной окружности, \( a, b, c \) - стороны треугольника, \( S \) - площадь треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]

где \( s \) - полупериметр треугольника, \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ s = \frac{5 + 8 + \sqrt{129}}{2} \] \[ s \approx \frac{13 + 11.357}{2} \] \[ s \approx \frac{24.357}{2} \] \[ s \approx 12.1785 \, \text{см} \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ S = \sqrt{12.1785(12.1785 - 5)(12.1785 - 8)(12.1785 - \sqrt{129})} \] \[ S = \sqrt{12.1785 \cdot 7.1785 \cdot 4.1785 \cdot 1.1785} \] \[ S = \sqrt{377.5815} \] \[ S \approx 19.4326 \, \text{см}^2 \]

Теперь найдем радиус \( R \) описанной окружности:

\[ R = \frac{5 \cdot 8 \cdot \sqrt{129}}{4 \cdot 19.4326} \] \[ R = \frac{40 \cdot \sqrt{129}}{77.7304} \] \[ R \approx \frac{40 \cdot 11.357}{77.7304} \] \[ R \approx \frac{454.28}{77.7304} \] \[ R \approx 5.8412 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, составляет приблизительно 5.8412 см.