Question

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18. Найти сторону квадрата,вписанного в эту окружность

Answer 1

сторона правильного треугольника равна а=Р:3

а=18:3=6

 

радиус описанной окружности равен

R=a*корень(3):3

R=6*корень(3):3=2*корень(3)

 

сторона вписанного квадрата равна

a=R*корень(2)

a= 2*корень(3) *корень(2)=2*корень(6)

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами вписанных фигур.

Дано, что треугольник вписан в окружность, и известен его периметр. Периметр правильного треугольника можно выразить как \( P = 3 \cdot a \), где \( a \) - длина стороны треугольника. Также, известно, что периметр равен 18, следовательно, \( 3 \cdot a = 18 \) и, следовательно, \( a = 6 \).

Теперь, когда у нас есть длина стороны треугольника, мы можем воспользоваться свойствами вписанных фигур. Когда треугольник вписан в окружность, его центр совпадает с центром окружности. Таким образом, радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой точки на окружности, в данном случае, до вершины треугольника.

Мы знаем, что в правильном треугольнике, проведенном к центру окружности, образуется два равнобедренных треугольника. Таким образом, угол между радиусом и стороной треугольника равен \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \) (так как у правильного треугольника все углы равны).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с углом \( 60^\circ \), где гипотенуза - это радиус окружности, а катет - это половина стороны треугольника.

Мы можем воспользоваться тригонометрией, чтобы найти длину радиуса (гипотенузы):

\[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{катет}}{\text{гипотенуза}} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{\text{катет}}{\text{гипотенуза}} \]

Отсюда получаем, что длина катета (половины стороны треугольника) равна 3.

Теперь у нас есть гипотенуза и один катет прямоугольного треугольника, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета:

\[ \text{гипотенуза}^2 = \text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 \]

\[ r^2 = 3^2 + 3^2 \]

\[ r^2 = 18 \]

\[ r = \sqrt{18} \]

Теперь у нас есть радиус окружности, и мы знаем, что сторона квадрата равна удвоенной длине радиуса:

\[ \text{сторона квадрата} = 2 \cdot r \]

\[ \text{сторона квадрата} = 2 \cdot \sqrt{18} \]

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в эту окружность, равна \( 2 \cdot \sqrt{18} \). Это можно упростить, если нужно.