Question

А1. Укажите координаты точки, симметричной точке А (−4; 3) относительно прямой, заданной уравнением у = 1.

Answer 1

Так как задана прямая у=1, то у симметричной точки будет изменена только координата по у
она должна быть на таком же расстоянии до у=1, как и А, но в другой полуплоскости
А'(-4; -1)

Answer 2

Чтобы найти координаты точки, симметричной точке \(A(-4, 3)\) относительно прямой с уравнением \(y = 1\), мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой \(y = 1\) и проходящей через точку \(A(-4, 3)\).

2. Найдем точку пересечения этой перпендикулярной прямой с прямой \(y = 1\). Таким образом, эта точка будет симметричной точке \(A(-4, 3)\).

Итак, начнем с первого шага:

1. Нахождение уравнения перпендикулярной прямой:

Уравнение прямой \(y = 1\) можно представить в виде \(y = mx + c\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(c\) - коэффициент смещения (или y-пересечение).

Угловой коэффициент этой прямой равен 0, так как прямая горизонтальна. Таким образом, уравнение прямой имеет вид \(y = c\), где \(c = 1\).

Теперь, чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой, у которой угловой коэффициент равен -1 (перпендикулярность), и которая проходит через точку \(A(-4, 3)\), мы можем использовать формулу:

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Где \((x_1, y_1)\) - координаты точки, через которую проходит прямая, а \(m\) - угловой коэффициент.

Для нашего случая:

\[y - 3 = -1(x + 4)\]

Решим это уравнение относительно \(y\):

\[y - 3 = -x - 4\]

\[y = -x - 1\]

Теперь у нас есть уравнение перпендикулярной прямой.

2. Нахождение точки пересечения с прямой \(y = 1\):

Теперь мы можем решить систему уравнений:

\[ \begin{align*} y &= -x - 1 \\ y &= 1 \end{align*} \]

Подставим \(y = 1\) в первое уравнение:

\[1 = -x - 1\]

Решим это уравнение относительно \(x\):

\[x = -2\]

Теперь подставим \(x = -2\) в уравнение прямой \(y = -x - 1\), чтобы найти \(y\):

\[y = -(-2) - 1 = 1\]

Таким образом, точка пересечения равна \((-2, 1)\).

3. Точка, симметричная относительно прямой \(y = 1\):

Теперь, чтобы найти точку, симметричную точке \(A(-4, 3)\) относительно прямой \(y = 1\), мы можем использовать формулу для симметрии относительно прямой:

\[(x', y') = (2x_0 - x, 2y_0 - y)\]

Где \((x_0, y_0)\) - координаты точки, относительно которой мы симметричны.

В нашем случае \((x_0, y_0) = (-2, 1)\), а \( (x, y) = (-4, 3)\).

Подставим значения:

\[x' = 2(-2) - (-4) = 0\]

\[y' = 2(1) - 3 = -1\]

Таким образом, координаты точки, симметричной точке \(A(-4, 3)\) относительно прямой \(y = 1\), равны \((0, -1)\).