Question

В трапеции ABCD c основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников AOB и COD равны.

Answer 1

Пусть AD - нижнее основание AD<BC

S(ABD)=S(ACD) - так как у єтих треугольников общее основание  AD, а высоты треугольников, проведенные к основанию, являются высотами трапеции и потому равны.

 

S(AOB)=S(ABD)-S(AOD)

S(COD)=S(ACD)-S(AOD)

 

поєтому

S(AOB)=S(COD). Доказано

Answer 2

Для доказательства того, что площади треугольников AOB и COD равны, давайте воспользуемся следующими свойствами:

1. Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на высоту, опущенную из вершины к этой основе.

2. Диагонали трапеции делят её на два треугольника.

Обозначим:

- \( h_1 \) - высоту треугольника AOB (проведенную из точки O к стороне AB), - \( h_2 \) - высоту треугольника COD (проведенную из точки O к стороне CD), - \( b_1 \) - длину основания треугольника AOB (сторона AB), - \( b_2 \) - длину основания треугольника COD (сторона CD).

Таким образом, площади треугольников можно выразить следующим образом:

\[ S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot h_1 \] \[ S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 \]

Так как диагонали трапеции пересекаются в точке O, высоты \( h_1 \) и \( h_2 \) равны между собой. То есть, \( h_1 = h_2 \).

Теперь докажем, что основания треугольников также равны. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Стороны AB и CD являются основаниями трапеции, и они равны между собой (по условию трапеции). Таким образом, \( b_1 = b_2 \).

Теперь мы видим, что обе стороны уравнений для площадей треугольников равны между собой:

\[ \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 \]

Поскольку \( h_1 = h_2 \) и \( b_1 = b_2 \), то площади треугольников AOB и COD действительно равны:

\[ S_{AOB} = S_{COD} \]

Таким образом, доказано, что площади треугольников AOB и COD равны в трапеции ABCD.