Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды имеет длину 4, высота пирамиды равна 9. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины принадлежат основанию пирамиды, четыре других лежат на боковых гранях, а четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды. Найти длину ребра куба. Ответ округлить до сотых.

Answer 1

Из условия, что четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды, делаем вывод: вершины основания куба лежат на осях основания пирамиды, а 4 других вершины куба лежат на апофемах пирамиды.

Проведём осевое сечение пирамиды через 2 противоположные апофемы.

Куб рассечётся по диагонали, его сечение - прямоугольник. Пусть высота его равна "х", ширина как диагональ равна "х√2".

Из подобия треугольников сечения составим пропорцию:

(9 - х)/(х√2/2) = 9/2.

9х√2 = 36 - 4х,

х(4 + 9√2) = 36,

х = 36/(4 + 9√2) ≈ 2,152090371 .

Ответ: длина ребра куба примерно равна 2,15.

Answer 2

Дано:

Длина стороны основания пирамиды = 4

Высота пирамиды = 9

Решение:

Чтобы найти длину ребра куба, вписанного в данную пирамиду, мы можем использовать свойства подобных треугольников. Поскольку четыре вершины куба лежат на основании пирамиды, а четыре других вершины лежат на боковых гранях, мы можем рассмотреть треугольник, образованный вершиной пирамиды, одной вершиной куба и центром основания пирамиды.

Мы можем заметить, что этот треугольник является прямоугольным, так как его один угол равен 90 градусов (угол между диагональю основания пирамиды и боковой гранью куба). Также у нас есть высота пирамиды, которая является высотой этого треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали основания пирамиды:

Диагональ^2 = Сторона^2 + Высота^2

Подставляя известные значения:

Диагональ^2 = 4^2 + 9^2

Диагональ^2 = 16 + 81

Диагональ^2 = 97

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

Диагональ = √97

Теперь у нас есть длина диагонали основания пирамиды. Поскольку четыре ребра куба параллельны этой диагонали, длина ребра куба будет равна длине диагонали основания пирамиды:

Длина ребра куба = √97

Округлим этот ответ до сотых:

Длина ребра куба ≈ 9.85