Question

Из вершины A треугольника ABC проведена медиана AM=ma. Доказать, что ma <1/2 (b+c), где b=AC и c=AB.

Answer 1

Решение : 1) Пусть ВС= h → BM=1/2h u MC=1/2h
2) рассмотрим треугольник АМС , проведем медиану МN→ СN=1/2 b и NA=1/2 b.
3) Пусть МN=e
Рассмотрим треугольник AMN: ma меньше e+1/2b, e меньше 1/2b+ma, 1/2b меньше е+ma.
4) пусть МО=k
5) рассмотрим ∆АОМ: 1/2с меньше k+ma; k меньше 1/2с+ma; ma меньше 1/2с+k.
6) т.к. ma меньше е+ 1/2в и меньше 1/2с+к , значит ма меньше 1/2(в+с)
Ч.т.д.

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что медиана AM треугольника ABC меньше полусуммы сторон b и c, можно использовать следующий метод:

1. Продолжим медиану AM за точку M на такое же расстояние, то есть построим отрезок MK, равный AM. 2. Рассмотрим четырехугольник ABKC, где K - середина стороны BC. Тогда AK - диагональ этого четырехугольника, а AM и MK - его полудиагонали. 3. Заметим, что AK < AB + BK, так как AK - хорда окружности, описанной около треугольника ABK, а AB + BK - сумма дуг, ограниченных этой хордой. 4. Так как BK = KC, то AK < AB + BK = AB + KC = AB + AC = b + c. 5. Так как AM = MK, то 2AM = AK. Отсюда следует, что AM < 1/2 AK. 6. Из пунктов 4 и 5 получаем, что AM < 1/2 (b + c).

Это доказывает утверждение задачи. Для наглядности можно посмотреть на рисунок, который я попробую создать.