Question

Медиана , проведенная к гипотенузы прямоугольного треугольника , делит прямой угол на два угла , разница между которыми 30 °. Радиус описанной окружности равен 18 см. Найдите стороны треугольника.

Answer 1

Дина на делит сторону на два равных отрезка, каждый из которых равен медиане и радиусу описанной окружности.Т.к. радиус 18 см, то гипотенуза 18*2= 36 см.Прямой угол 90 градусов. пусть одна часть угла х градусов тогда вторая часть х+30 градусов.х+ х+30=90, 2х=60,х=30.Значит один угол 30 градусов, а другой 60 Треугольник с углом в 60 градусов равносторонний, значит, один катет 18 см Другой находим по теореме Пифагора,он равен 18 корней из 3

Answer 2

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны a, b и c, где c - гипотенуза.

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, разница между которыми составляет 30°, то эти углы равны 45° и 75°.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть r = c/2 = 18 см.

Используя формулу для радиуса описанной окружности, связанную со сторонами треугольника, имеем: abc = 4R, где a, b и c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

Подставляем известные значения: a * b * c = 4 * 18 a * b * c = 72

Также, так как треугольник прямоугольный, применяем теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2

Подставляем известное значение радиуса описанной окружности: a^2 + b^2 = (2r)^2 a^2 + b^2 = 2^2 * r^2 a^2 + b^2 = 2^2 * 18^2 a^2 + b^2 = 2^2 * 18^2 a^2 + b^2 = 4 * 18^2 a^2 + b^2 = 4 * 18^2 a^2 + b^2 = 4 * 324 a^2 + b^2 = 1296

Теперь имеем систему уравнений: a * b * c = 72 a^2 + b^2 = 1296

Решим эту систему методом подстановки.

Подставим в первое уравнение выражение для c из второго уравнения: a * b * (a^2 + b^2) = 72 a^3 * b + a * b^3 = 72

Теперь подставим второе уравнение в первое: a * b * (1296 - a^2) = 72 1296ab - a^3 * b = 72

Таким образом, получаем уравнение: a^3 * b + a * b^3 = 1296ab - a^3 * b

Сокращаем на ab: a^2 + b^2 = 1296 - a^2

Приравниваем левую и правую части уравнения: 2a^2 = 1296 a^2 = 648 a = √648 = 18√2

Подставляем найденное значение a в одно из уравнений: (18√2)^2 + b^2 = 1296 324 * 2 + b^2 = 1296 648 + b^2 = 1296 b^2 = 1296 - 648 b^2 = 648 b = √648 = 18√2

Таким образом, стороны треугольника равны: a = 18√2 см b = 18√2 см c = 36 см