Question

Два угла треугольника равны по 120градусов. Докажите, что треугольник равносторонний. Пожалуйста помогите в полном доказательстве.

Answer 1

Как ты представляешь себе треугольник с двумя тупыми углами?

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник равносторонний, нужно показать, что все его стороны равны.

Пусть треугольник ABC имеет два угла равных по 120 градусов. Предположим, что треугольник не является равносторонним, то есть хотя бы две его стороны не равны.

Пусть AB и AC - две стороны треугольника, которые не равны. Тогда возможны два случая:

1) AB > AC 2) AB < AC

Рассмотрим первый случай, когда AB > AC. Проведем высоту AD из вершины A на сторону BC. Так как треугольник ABC не равносторонний, то высота AD является биссектрисой угла BAC. Обозначим углы BAD и CAD через α.

Так как угол BAC равен 120 градусов, то угол BAD и угол CAD равны по 60 градусов каждый.

Теперь рассмотрим треугольник ADB. Угол BDA равен 180 - угол BAD - угол ADB = 180 - 60 - 120 = 0 градусов. Это означает, что точка D совпадает с точкой B, и AD является высотой и медианой треугольника ABC.

Так как AD является высотой треугольника, то она перпендикулярна стороне BC. Но также она является медианой, а медиана делит сторону пополам. То есть, BC = 2 * AC.

Так как AB > AC и BC = 2 * AC, то AB > BC. Но это противоречит начальному предположению, что AB > AC. Значит, первый случай не является возможным.

Рассмотрим второй случай, когда AB < AC. Проведем аналогичные рассуждения и придем к выводу, что BC > AC. Но это также противоречит начальному предположению, что AB < AC.

Таким образом, оба случая приводят к противоречию, и мы можем сделать вывод, что предположение о том, что треугольник ABC не является равносторонним, неверно.

Таким образом, треугольник ABC является равносторонним.