Question

Радиус окружности,вписанной в правильный треугольник, равен √3. Найдите периметр и площадь треугольника

Answer 1

Радиус вписанной окружности равен 1/3 высоты прав. треугольникака, которая в свою очередь равна
 (акор3)/2:(акор3)/6 = кор3
Отсюда находим сторону:а = 6
Тогда периметр:Р = 3а = 18 см
.Площадь:

Answer 2

Пусть \( r \) - радиус вписанной окружности, \( P \) - периметр треугольника, и \( S \) - его площадь.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан с длинами сторон следующим образом:

\[ r = \frac{a}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{3})} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Из условия задачи известно, что \( r = \sqrt{3} \). Таким образом, мы можем записать уравнение для радиуса:

\[ \sqrt{3} = \frac{a}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{3})} \]

Решая это уравнение относительно \( a \), получаем:

\[ a = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(\frac{\pi}{3}) \]

Теперь мы можем найти периметр \( P \) и площадь \( S \) треугольника.

1. Периметр:

\[ P = 3 \cdot a \]

2. Площадь:

Используем формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника:

\[ p = \frac{P}{2} \]

Подставляем значение \( a \) и вычисляем \( P \), \( p \), и \( S \):

\[ P = 3 \cdot a \]

\[ p = \frac{P}{2} \]

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

Подставив все значения, вы найдете периметр и площадь треугольника.