Question

Какая из медиан равнобедреного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой?

Answer 1

Медианой, биссектрисой и высотой одновременно является та медиана, которая опущена на основание этого треугольника

Answer 2

В равнобедренном треугольнике одновременно биссектрисой и высотой является медиана, проходящая из вершины треугольника и делящая основание на две равные части.

Для доказательства этого факта рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть M - середина основания BC, а H - точка пересечения высоты AD и стороны BC.

Докажем, что AM является биссектрисой и высотой треугольника ABC.

1. Биссектриса: Поскольку AM - медиана, то AM делит сторону BC пополам. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC равен углу BCA. Таким образом, AM делит угол BAC пополам, что является свойством биссектрисы.

2. Высота: Построим перпендикуляр к стороне BC, проходящий через точку M и пересекающий сторону AC в точке H. Так как AM - медиана, то AM делит сторону BC пополам, а значит, BM = MC. Из этого следует, что треугольники ABM и ACM равнобедренные. Так как угол BAC равен углу BCA, то углы ABM и ACM также равны.

Из равенства углов ABM и ACM следует, что угол MAH равен углу MHA. Таким образом, угол MAH = углу MHA, что является свойством высоты.

Таким образом, медиана AM в равнобедренном треугольнике одновременно является биссектрисой и высотой.