Question

В параллелограмме ABCD AB=8см, BC=12см, точки K и E лежат соответственно на сторонах BC и CD так, что CK=3см, CE=2см, отрезок KE пересекает диагональ AC в точке P. Найдите AP:PC.

Answer 1

Проведем диагонали параллелограмма.
Рассмотрим треугольники ВДС и КЕС. 
ВС:КС=12:3=4:1
СД:СЕ=8:2=4:1
Стороны треугольниов ВСД и КСЕ пропорциональны и имеют общий угол.
Второй признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Треугольники ВСД и КСЕ подобны,⇒ углы при КЕ и ВД соответственно равны,
⇒КЕ параллельна ВД.
Проведем через А прямую, параллельную ВД.
Продлим стороны СВ и СД до пересечения с этой прямой в точках М и Н соответсвенно.
ВД- средняя линия  В треугольника МСН , т.к. параллельна МН и делит АС пополам.
⇒МС=ВС*2=24 см
МК=МС-КС=24-3=21 см
АР:РС=МК:КС
 АР:РС=21:3=7:1
 ------------- 
[email protected]  

Answer 2

Для решения данной задачи в параллелограмме ABCD мы можем использовать подобие треугольников и пропорции сторон.

Нахождение длины отрезка KE:

Известно, что CK = 3 см и CE = 2 см. Так как K и E лежат на сторонах BC и CD соответственно, то отрезок KE будет прямой линией, соединяющей точку K соответственно с точкой E. Поэтому длина отрезка KE будет равна сумме длин отрезков CK и CE: KE = CK + CE = 3 см + 2 см = 5 см.

Нахождение длины отрезка AP:

Так как точка P является точкой пересечения отрезка KE с диагональю AC, то мы можем использовать свойство подобных треугольников и пропорции сторон. Рассмотрим треугольники ACP и EKP.

Коэффициент подобия между треугольниками ACP и EKP будет равен отношению длин соответствующих сторон. Так как сторона KP соответствует стороне AP, а сторона EP соответствует стороне CP, то получаем: AP/CP = KP/EP.

Заметим, что треугольники EKP и ABC являются подобными, так как углы KPЕ и АВС равны по свойству параллелограмма. Поэтому мы можем использовать пропорцию сторон треугольников EKP и ABC: KP/AB = EP/BC.

Так как AB = 8 см и BC = 12 см, подставляем значения и получаем: KP/8 = EP/12.

Также мы знаем, что KE = 5 см. То есть KP + EP = KE. Подставляем значения и получаем: KP + EP = 5.

Теперь мы можем решить систему уравнений: KP/8 = EP/12 KP + EP = 5

Решив систему уравнений, мы найдем значения KP и EP.

Нахождение отношения AP:PC:

После того как мы найдем значения KP и EP, мы можем использовать пропорцию сторон треугольников ACP и EKP: AP/CP = KP/EP.

Подставляем значения KP и EP и решаем уравнение, чтобы найти отношение AP:PC.

Обратите внимание, что для полного решения задачи необходимо знать значения KP и EP. Без этих данных, мы не сможем определить отношение AP:PC.