Question

Площа ромба дорівнює 600 см2, а його діагоналі відносяться як 3:4. Знайти радіус коса, вписаного в цей ромб.

Answer 1

Нехай перша діагональ дорівнює 3х см, тоді друга дорівнює 4х см. Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей. Тому

1/2*3x*4x=600

6x^2=600

x^2=600/6

x^2=100

x=10

3x=3*10=30

4x=4*10=40

 

сторона ромба дорівнює (як гіпотенуза) корінь( (30/2)^2+(40/2)^2)=25

півпериметр дорівнює р=2а=2*25=50

радіус вписаного кола дорівнює r=S/p

r=600/50=12 cм

відповідь: 12 см

 

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми можемо використовувати властивості вписаного косинуса в ромбі.

Нехай \(d_1\) і \(d_2\) - діагоналі ромба, а \(R\) - радіус вписаного косинуса. Тоді властивість вписаного косинуса у ромбі можна виразити так:

\[ R = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2} \]

Також задано, що площа ромба \(S\) дорівнює 600 см²:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]

У нашому випадку \(S = 600\). Ми також знаємо, що діагоналі відносяться як 3:4, тобто \(d_1 : d_2 = 3 : 4\).

Зробимо позначення: \(d_1 = 3x\) і \(d_2 = 4x\).

Підставимо ці вирази у формулу для площі ромба:

\[ 600 = \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x) \]

Розв'яжемо це рівняння для \(x\):

\[ 600 = 6x^2 \]

\[ x^2 = \frac{600}{6} = 100 \]

\[ x = 10 \]

Тепер ми можемо знайти значення \(d_1\) і \(d_2\):

\[ d_1 = 3x = 3 \cdot 10 = 30 \]

\[ d_2 = 4x = 4 \cdot 10 = 40 \]

Тепер підставимо значення \(d_1\) і \(d_2\) у формулу для радіуса вписаного косинуса:

\[ R = \frac{1}{2} \sqrt{30^2 + 40^2} \]

\[ R = \frac{1}{2} \sqrt{900 + 1600} \]

\[ R = \frac{1}{2} \sqrt{2500} \]

\[ R = \frac{1}{2} \cdot 50 \]

\[ R = 25 \]

Отже, радіус вписаного коса в цей ромб дорівнює 25 см.