Question

В трапеции авсд с основаниями вс и ад центр описанной окружности лежит на основании ад.Найдите радиус этой окружности,если ад=2вс и ав=2

Answer 1

AO=OD=OB=r, треуг. АВО - равнобедр. угол АВО - вписанный, угол ВОD - центральный, значит АВО в 2 раза меньше ВОД, они смежные, АВО = 180/3=60, следовательно треуг. АВО - правильный, АВ=ВО=АО=2, r=2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами трапеции и окружности.

Дано: - Трапеция ABCD, где AB || CD, AD ⊥ AB, CD, BC, AD - основания трапеции. - Окружность с центром O, описанная вокруг трапеции.

Условие гласит, что центр описанной окружности лежит на основании AD. Также известно, что AD = 2VS (VS - средняя линия трапеции) и AV = 2.

Давайте обозначим точку, где основание AD пересекает окружность, как E. Тогда EO будет радиусом описанной окружности.

Из свойств окружности следует, что радиус, проведенный к хорде, делит её пополам. Таким образом, AO = OD = EO.

Мы знаем, что AV = 2. Также, AV = AO + OV. Так как AO = OD = EO, то OV = AV - AO = 2 - EO.

Также, по условию, AD = 2VS, и так как AV = 2, то VS = 1 (средняя линия делит основание AD пополам).

Теперь рассмотрим треугольник AEO. Мы знаем, что AO = EO и OV = 2 - EO. Также, по теореме Пифагора:

\[AE^2 = AO^2 + OE^2.\]

Так как AO = EO, то это уравнение можно переписать как:

\[AE^2 = 2EO^2.\]

Также, в треугольнике AEO у нас есть:

\[AE = AO + OV = EO + (2 - EO) = 2 - EO.\]

Подставим это в уравнение:

\[(2 - EO)^2 = 2EO^2.\]

Раскроем скобки:

\[4 - 4EO + EO^2 = 2EO^2.\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[2EO^2 + 4EO - 4 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для удобства поделим все на 2:

\[EO^2 + 2EO - 2 = 0.\]

Применим квадратное уравнение:

\[EO = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -2\). Подставим значения:

\[EO = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}.\]

\[EO = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}.\]

\[EO = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}.\]

\[EO = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2}.\]

\[EO = -1 \pm \sqrt{3}.\]

Так как EO - радиус, он не может быть отрицательным, поэтому берем положительное значение:

\[EO = -1 + \sqrt{3}.\]

Таким образом, радиус описанной окружности равен \(1 - \sqrt{3}\).