Question

АВС- прямоугольный треугольник, катеты 8см и 7см . АВС1- его ортогональная проекция . Угол между плоскостями треугольников равен 30 градусов . Найти площадь треугольника АВС1.

Answer 1

AB=8см AC=7см
BC=2AC-по свойству угла в 30 градусов 
BC=14см
P=8+7+14=29см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольных треугольников и ортогональных проекций.

1. Найдем гипотенузу треугольника ABC: Используем теорему Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \).

Где: - \( a \) и \( b \) - катеты треугольника ABC (8 см и 7 см соответственно). - \( c \) - гипотенуза треугольника ABC.

Подставим значения и решим уравнение:

\( c^2 = 8^2 + 7^2 \)

\( c^2 = 64 + 49 \)

\( c^2 = 113 \)

\( c = \sqrt{113} \) (гипотенуза)

2. Найдем высоту треугольника ABC, опущенную на гипотенузу: В прямоугольных треугольниках высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два подобных треугольника.

Поэтому:

\( h = \frac{ab}{c} \)

Где: - \( h \) - высота треугольника ABC, опущенная на гипотенузу. - \( a \) и \( b \) - катеты треугольника ABC. - \( c \) - гипотенуза треугольника ABC.

Подставим значения:

\( h = \frac{8 \cdot 7}{\sqrt{113}} \)

3. Найдем площадь треугольника ABC: Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)

Подставим значения:

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \)

4. Найдем проекцию треугольника ABC1 на плоскость ABC: Так как у нас прямоугольный треугольник, его проекция на одну из плоскостей совпадает с самим треугольником. Так что проекция треугольника ABC1 на плоскость ABC - это сам треугольник ABC1.

5. Найдем площадь треугольника ABC1: Площадь треугольника ABC1 равна произведению длины его проекции (в данном случае, это треугольник ABC) на высоту, опущенную на эту плоскость:

\( S_{ABC1} = S_{ABC} \cdot \cos(\theta) \)

Где: - \( S_{ABC1} \) - площадь треугольника ABC1. - \( S_{ABC} \) - площадь треугольника ABC. - \( \theta \) - угол между плоскостями треугольника ABC и ABC1 (в радианах).

У нас дан угол в градусах, поэтому нужно перевести его в радианы: \( \theta = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} \).

Подставим значения:

\( S_{ABC1} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos\left(30^\circ \cdot \frac{\pi}{180}\right) \)

Теперь, выполним вычисления.