Question

Даны два вектора AC=5, BD=12. Прямые, на которых они лежат, образуют угол 90 градусов. Найдите |AC-BD|.

Answer 1

Разность векторов - это их сумма, но один из них имеет обратное направление.
При угле в 90 градусов модуль суммы равен модулю разности:
|AC - BD| = √(AC²+BD²) = √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13.

Answer 2

Давайте обозначим вектор AC как \(\vec{AC}\) и вектор BD как \(\vec{BD}\). Также у нас есть информация о том, что прямые, на которых лежат эти векторы, образуют угол 90 градусов. Это означает, что векторы перпендикулярны друг другу.

Используем формулу для нахождения модуля разности векторов: \[ |\vec{AC} - \vec{BD}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}, \] где \(\Delta x\) - разность координат по оси x, \(\Delta y\) - разность координат по оси y.

Для начала найдем координаты векторов. Пусть точка A имеет координаты \((x_1, y_1)\), точка C - \((x_2, y_2)\), точка B - \((x_3, y_3)\), точка D - \((x_4, y_4)\).

Тогда векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) можно выразить следующим образом: \[ \vec{AC} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle, \] \[ \vec{BD} = \langle x_4 - x_3, y_4 - y_3 \rangle. \]

Теперь вычислим разность векторов: \[ \vec{AC} - \vec{BD} = \langle x_2 - x_1 - (x_4 - x_3), y_2 - y_1 - (y_4 - y_3) \rangle. \]

Теперь вычислим модуль этой разности: \[ |\vec{AC} - \vec{BD}| = \sqrt{(x_2 - x_1 - (x_4 - x_3))^2 + (y_2 - y_1 - (y_4 - y_3))^2}. \]

Из условия задачи известно, что \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) образуют прямой угол, то есть перпендикулярны друг другу. Это означает, что их координатные разности по x и y также образуют прямой угол.

Таким образом, \((x_2 - x_1 - (x_4 - x_3), y_2 - y_1 - (y_4 - y_3))\) - это вектор, перпендикулярный исходным векторам \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\). Значит, эти векторы будут катетами прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора для этого треугольника: \[ |\vec{AC} - \vec{BD}| = \sqrt{(\vec{AC})^2 + (\vec{BD})^2}, \]

где \((\vec{AC})^2\) и \((\vec{BD})^2\) - квадраты длин векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) соответственно.

Таким образом, \[ |\vec{AC} - \vec{BD}| = \sqrt{|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2}. \]

Теперь подставим значения длин векторов: \[ |\vec{AC} - \vec{BD}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]

Итак, \(|\vec{AC} - \vec{BD}| = 13\).