Question

Найдите отношение суммы квадратов медиан к сумме квадратов сторон треугольника

Answer 1

Mc - медиана к стороне с; ma - медиана к стороне a; mb - медиана к стороне b; 
(2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2;
(2*mb)^2 = 2*(a^2 + c^2) - b^2;
(2*ma)^2 = 2*(b^2 + c^2) - a^2;
4*(ma^2 + mb^2 + mc^2) = 2*a^2 + 2*b^2 - c^2 + 2*a^2 + 2*c^2 - b^2 + 2*b^2 + 2*c^2 - a^2 = 3*(b^2 + c^2 + a^2); это всё

формулу для длины медианы (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; лучше всего запоминать именно в такой форме. Получается она элементарно - если продолжить медиану mc на "свою длину" за точку пересечения со стороной c, то треугольник "достраивается" до параллелограмма, в нем диагонали равны с и 2*mc, а стороны a и b. Если теперь  записать теорему косинусов для двух треугольников - исходного с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(Ф); и треугольника со сторонами a, b и 2*mс
(2*mс)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(Ф); и сложить, как раз и получится нужная формула.