Question

В правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра которой равны , точка m-середина sb .найдите косинус между am и bd

Answer 1

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны, точка M - середина SB.
Найти косинус между АМ и BD.

Есть 2 метода решения этого задания:
1) геометрический,
2) векторный.

Примем 1 вариант. Длины рёбер примем за 1.
Перенесём отрезок АМ точкой А в точку Д.
Новую точку М соединим с вершиной основания В.
Получили треугольник ДМВ.
Находим длины сторон.
ДВ = √2 (как диагональ квадрата).
Высота пирамиды с диагональю √2 и боковыми рёбрами по 1 (это прямоугольный равнобедренный треугольник с острыми углами по 45 градусов) равна половине гипотенузы, то есть √2/2.
Так как точка М на середине ребра, то она по высоте отстоит от основания на √2/4.
ВМ = √((1+(1/4))²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(25+1+2)/16) = √28/4 = √7/2.
ДМ = √((3/4)²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(9+1+2)/16) = √12/4 = √3/2.
Косинус угла Д находим по теореме косинусов.
cos D = ((√3/2)²+(√2)²-(√7/2)²)/(2*(√3/2)*(√2) =
          = ((3/4)+2-(7/4))/√6 = 1/√6 = √6/6 ≈ 0,4082483.
Этому косинусу соответствует угол  1,150262 радиан или 65,905157°.