Question

Центр каждой грани куба является вершинами выпуклого многогранника. Найдите его объем, если диагональ куба равна 6.

Answer 1

Решение:
Куб - прямоугольный параллелепипед.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Диагональ куба d=6.
d² = 3а²
3a²=36
a²=12 ⇒

a=2√3
Найдена длина ребра куба.
Смотрим данный во вложении рисунок:
Диагональ октаэдра равна длине ребра куба.
Ребро октаэдра

ab=cd равно ос*√2=√3 *√2=√6
Формула объема октаэдра
V=(а³√2):3
V=(√6)³√2):3=6√12):3=2*2√3=4√3

-----------------------------------------------
Но можно объем вычислить последовательно по действиям, найдя сторону октаэдра, расстояние от вершин до центра и затем найденный по формуле объема правильной четырехугольной пирамиды
V=Sh:3 результат умножить на два.
Ответ будет одинаковым.