Question

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD . На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O , касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q – середина стороны CD. а) Докажите, что OQDH – параллелограмм. !!!!б)Найдите AD, если угол ВAD =75 градусов и BC=1.

Answer 1

ΔOAH является равнобедренным, так как AO=OH, следовательно углы OHA и OAH равны. Поскольку угол OAH = углу QDH , то угол OHA = углу QDH/
OQDH является параллелограммом, так как:
  OQ параллельна HD (средняя линия и основание)
  OH параллельна QD (соответственные углы равны)

h-?
Обозначим точку касания стороны CD к окружности за F
BC=CF=1
Угол CQO = 75 градусам
Угол OFQ - прямой
Угол FOQ = 15 градусам
Угол BOQ = 75 градусам
Угол BOF = 60 градусам
Угол COF = 30 градусам
  ΔCOF - прямой. Катет CF лежит против угла в 30 градусов, следовательно гипотенуза OC равняется его удвоенному значению
OC=2
В треугольнике OCQ из вершины С проведем высоту в точку N.
Угол CON = 45 градусам
Треугольник OCN - прямой равнобедренный, следовательно CN=ON=$\sqrt{2}$
CN является высотой трапеции OBCQ, которая подобна трапеции ABCD 
BO/BA=CN/h
$h=2 \sqrt{2}$
Ответ: $h=2 \sqrt{2}$.