Question

Найти объем треугольной призмы abca1b1c1 зная четыре из шести ее вершин: А(1,2,3), В(3,3,5), В1(3,4,3), С1(4,4,5).

Answer 1

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала АВ{х2-х1;y2-y1;z2-z1}.
В нашем случае вектора: АВ{2;1;2}, ВВ1{0;1;-2}, В1С1{1;0;2}.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²+z²), значит
|AB|=√(2²+1²+2²)=3.
|BC|=√(1²+0²+2²)=√5. (так как ВС=В1С1 - ребра призмы).
Косинус угла между векторами cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)].
Угол между векторами АВ и ВС равен углу между векторами АВ и В1С1 (как угол между скрещивающимися прямыми), тогда :
cosα=(2*1+1*0+2*2)/[√(4+1+4)*√(1+0+4)]=6/(3√5)=2√5/5.
Тогда площадь основания равна (1/2)*АВ*ВС*Sinα.
Sinα=√(1-Cos²α)=√(1-4/5)=√5/5. Sabc=|AB|*|BC|*Sinα=3√5*√5/5=3ед².

Высота призмы - это расстояние от точки В1 до плоскости АВС.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, записывается как:
|X-X1 X2-X1 X3-X1|
|y-Y1 Y2-Y1 Y3-Y1|=0.  Из условия имеем:  
|Z-Z1 Z2-Y1 Z3-Z1|

|X-1  2  3 |
|Y-2  1  1 |=0.  
|Z-3  2  4 |
Раскрываем определитель по формуле:
a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3=(X-1)*4+(Z-3)*2+(y-2)*6-(z-3)*3-(х-1)*2-(y-2)*8 = 4X-4+2Z-6+6Y-12-3Z+9-2X+2-8Y+16 = 2X-2Y-Z+5=0
Второй вариант (для проверки арифметики):
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |1 1|            |2 3|            |2  3|
(х-1)*|2 4| - (y-2)*|2 4| +(z-3)*|1  1| =0.

(X-1)(4-2)-(Y-2)(8-6)+(Z-3)(2-3)=0.
2X-2-2Y+4-Z+3=0  или 2X-2Y-Z+5=0.
Оба варианта дали одинаковый вариант уравнения плоскости:
2X-2Y-Z+5=0.
Проверка для точки А: 2-4-3+5=0. Для точки В: 6-6-5+5=0. Для точки C: 8-6-7+5=0.
Итак, уравнение плоскости верное.
Найдем высоту призмы.
Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле: d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²).  В нашем случае:
d=|6-8-3+5|√(4+4+1)=0
Где же ошибка?
Проверим по данным нам точкам В1 и С1.
Эти точки, данные нам в условии, так же ПРИНАДЛЕЖАТ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ!
Проверка:  Для точки В1: 6-8-3+5=0. Для точки C1: 8-8-5+5=0.
Следовательно, все четыре заданных вершины ЛЕЖАТ в ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ.
====================================================
Проверим еще раз: найдем уравнение плоскости АВС1:
|X-X1 X2-X1 X3-X1|
|y-Y1 Y2-Y1 Y3-Y1|=0.  Из условия имеем:  
|Z-Z1 Z2-Y1 Z3-Z1|

|X-1  2  3 |
|Y-2  1  2 |=0.  
|Z-3  2  2 |
Раскрываем определитель по формуле:
a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3=
=(X-1)*2+(Z-3)*4+(y-2)*6-(z-3)*3-(х-1)*4-(y-2)*4=
=2X-2+4Z-12+6Y-12-3Z+9-4X+4-4Y+8 = -2X+2Y+Z-5=0  или 2X-2Y-Z-5=0.
Итак, плоскость АВС и АВС1 СОВПАДАЕТ.
=======================================================
И еще раз:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки В(3,3,5), В1(3,4,3),
С1(4,4,5). записывается как:
|X-X1 X2-X1 X3-X1|
|y-Y1 Y2-Y1 Y3-Y1|=0.  Из условия имеем:  
|Z-Z1 Z2-Y1 Z3-Z1|

|X-3   0  1 |
|Y-3   1  1 |=0.  
|Z-5  -2  0 |
Раскрываем определитель по первому столбцу,
находим уравнение плоскости:
         | 1 1|            | 0 1|            |0  1|
(х-3)*|-2 0| - (y-3)*|-2 0| +(z-5)*|1  1| =0.

(X-3)2-(Y-3)2+(Z-5)(-1)=0.
2X-6-2Y+6-Z+5=0  или 2X-2Y-Z+5=0.
Итак, плоскости ВВ1С1 и АВС - одна и та же! Как и плоскость АВС1.
Данная нам фигура - НЕ ПРИЗМА!