Question

Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию. Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1:4. Через центр окружности и вершину трапеции проведена прямая. Найдите площадь треугольника отсекаемого от этой трапеции данной прямой.

Answer 1

Если обозначить за х длину отрезка от вершины меньшего основания до точки касания (все равно какой - на основании или на боковой стороне - они равны), то второй отрезок боковой стороны 4*х, вся боковая сторона 5*х, меньшее основание 2*х, большее 8*х.

Если опустить из вершины меньшего основания высоту на большее, то она отсечет на большом основании отрезок 3*х.

Поэтому высота трапеции - это второй катет в прямоугольном треугольнике, в котором гипотенуза равна 5*х, а первый катет 3*х. То есть она равна 4*х (получился "египетский" треугольник, то есть подобный треугольнику со стронами 3,4,5). 

С другой стороны, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть

4*х = 12; 

x = 3.

Стороны трапеции такие - основания 6 и 24, боковая сторона 15.

Если провести теперь прямую через центр окружности и вершину меньшего основания, то получившийся треугольник имеет площадь, равную половине площади трапеции

Если через центр окружности  провести еще вертикальный диаметр, то есть соединить точки касания оснований, то там получается два равных треугольника - между этим диаметром, проведенной прямой и двумя основаниями. Поэтому и получается, что площадь отсеченного треугольника равна половине площади трапеции.

Площадь трапеции равна (6 + 24)*12/2 = 180, площадь треугольника 90