Question

Найдите площадь треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех трех высот выражаются целыми числами.

Answer 1

$h_{1};h_{2};h_{3}\\ S=p*r\\ S=p\\ S=\frac{ah_{1}}{2}\\ S=\frac{bh_{2}}{2}\\ S=\frac{ch_{3}}{2}\\ \\ p=\frac{a+b+c}{2}\\ a+b+c=ah_{1}\\ a+b+c=bh_{2}\\ a+b+c=ch_{3}\\\\ \frac{2S}{h_{1}}+\frac{2S}{h_{2}}+\frac{2S}{h_{3}}=S\\ \frac{2}{h_{1}}+\frac{2}{h_{2}}+\frac{2}{h_{3}}=1\\ h_{1}=6$
тогда площадь равна 
$S=3\sqrt{3}r^2=3\sqrt{3}$