Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА1 и CC1 Докажите, что углы СС1А1 и САА1 равны.

Answer 1

Способ 1. 

В ∆ АВС высоты АА1 и СС1 со сторонами  два прямоугольных треугольника АС1С и АА1С с общей гипотенузой АС.

Следовательно, вокруг них можно описать окружность с диаметром АС, на который опираются прямые углы АС1С и АА1С. 

Вписанные углы А1АС и А1С1С опираются на одну дугу А1С. Вписанные углы, опирающиеся на одну дуга, равны. ⇒ 

∠СС1А1=∠САА1. Доказано. 

---------

Способ 2. 

Рассмотрим ∆ АОС1 и А1ОС.

Эти треугольники подобны по двум углам - прямому при С1 и А1 и вертикальному при точке пересечения высот О. 

Из подобия следует пропорциональность сторон:

 С1О:А1О=АО:СО, 

откуда имеем пропорциональность тех же сторон в ∆ АОС и ∆ А1ОС1. 

Вертикальные углы при вершине О этих треугольников равны. 

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следовательно, углы СС1А1 и САА1 равны. Доказано.