Question

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 9. Вторая окружность касается катетов треугольника и первой окружности. Найти радиус второй окружности.

Answer 1

Проведем из центров окружностей радиусы в точки касания окружностей с катетами. Они перпендикулярны катетам.
Получились квадраты СКОН и CFO'E,  стороны которых равны 9 и r соответственно.
Проведем O'H'║EH.
OO' = 9 + r
OH' = O'H' = 9 - r
Из треугольника OH'O' (∠OH'O' = 90°) по теореме Пифагора составим уравнение:
(OO')² = (OH')² + (O'H')²
(9 + r)² = (9 - r)² + (9 - r)²
81 + 18r + r² = 2(81 - 18r + r²)
81 + 18r + r² = 162 - 36r + 2r²
r² - 54r + 81 = 0
D/4 = 27² - 81 = 648
r = 27 + 18√2        или              r = 27 - 18√2
В первом случае радиус маленькой окружности приблизительно равен 52,5, что невозможно по условию задачи, во втором ≠ 1,5.
Ответ: 27 - 18√2

Answer 2

Пусть радиус второй окружности равен r.

Так как первая окружность вписана в треугольник, то ее радиус равен половине длины гипотенузы треугольника. Пусть гипотенуза равна c.

Также, так как вторая окружность касается катетов треугольника и первой окружности, то она касается катетов на расстоянии r от вершин треугольника.

Из свойств касательных мы знаем, что расстояние от точки касания до центра окружности равно радиусу окружности. Поэтому, расстояние от точки касания второй окружности до вершины треугольника равно r.

Таким образом, длина каждого катета треугольника равна r + r = 2r.

Теперь посмотрим на треугольник, образованный катетами и радиусом второй окружности. Этот треугольник является прямоугольным, так как один из его углов прямой, и равнобедренным, так как два катета равны.

По теореме Пифагора в равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Подставим известные значения:

c^2 = (2r)^2 + (2r)^2 c^2 = 4r^2 + 4r^2 c^2 = 8r^2 c = 2r√2

Так как радиус первой окружности равен 9, то гипотенуза треугольника равна 2*9 = 18.

Подставим значение гипотенузы в найденное выражение для c:

18 = 2r√2 9 = r√2 r = 9/√2 r = 9√2/2

Таким образом, радиус второй окружности равен 9√2/2.