Question

Диагонали трапеции делит ее среднию линию на отрезки,равные 4 см и 3 см.найти меньшее основание трапеции

Answer 1

Дано: ABCD - трапеция
EF - средняя линия
EO = 3 см
OF = 4 см
Найти: AB
Решение.
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Средняя линия EF параллельна основаниям AB и DC и делит стороны AD и BC трапеции пополам.
2) Рассмотрим треугольники EOD и ABD.
Углы EOD и ABD равны как соответственные при пересечении параллельных прямых EF и AB секущей BD.
Угол DBC общий. Следовательно, треугольник BOF подобен BDC.
3) Из подобия треугольников следует, что
AB / EO = AD / ED => AB = EO * AD / ED = EO * 2ED / ED = EO * 2 = 6 см.

Answer 2

Давайте обозначим меньшее основание трапеции за \(a\), а большее основание за \(b\). Также пусть \(MN\) — средняя линия трапеции, а \(PQ\) и \(RS\) — отрезки, на которые диагонали \(AC\) и \(BD\) разбивают среднюю линию.

Из условия задачи мы знаем, что \(PQ = 4\) см и \(RS = 3\) см. Также мы знаем, что диагонали трапеции делят её на четыре треугольника. Давайте обозначим точки пересечения диагоналей как \(O\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AOM\). Мы знаем, что \(PQ\) — средняя линия треугольника, а \(ON\) — медиана. Согласно свойствам треугольника, медиана делит среднюю линию в отношении 2:1. Таким образом, \(ON = \frac{1}{3} \cdot PQ = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}\) см.

Аналогично, в треугольнике \(CON\) медиана \(OM\) также делит среднюю линию \(RS\) в отношении 2:1, и мы можем выразить \(OM = \frac{2}{3} \cdot RS = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2\) см.

Теперь рассмотрим треугольник \(AOC\). Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[AC^2 = AO^2 + OC^2.\]

Заметим, что \(AO = \frac{1}{2}b\) и \(OC = \frac{1}{2}a\), так как \(AC\) — медиана трапеции.

Таким образом, у нас есть:

\[\left(\frac{1}{2}b\right)^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2 = AC^2.\]

Также, мы знаем, что \(AC = PQ + RS = 4 + 3 = 7\) см.

Подставим это значение в уравнение:

\[\left(\frac{1}{2}b\right)^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2 = 7^2.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{1}{4}b^2 + \frac{1}{4}a^2 = 49.\]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[b^2 + a^2 = 196.\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает \(a\) и \(b\). Однако, у нас есть ещё одно уравнение, которое связывает длины диагоналей и средней линии:

\[(a + b)^2 = 4^2 + 3^2.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[a^2 + 2ab + b^2 = 16 + 9.\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} b^2 + a^2 = 196, \\ a^2 + 2ab + b^2 = 25. \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения \(a\) и \(b\). Однако, из условия задачи мы ищем меньшее основание \(a\), поэтому нужно рассмотреть результаты и выбрать соответствующее значение.