Question

Докажите,что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон,к которым эти медианы проведены.

Answer 1

Пусть А1А и В1В медианы треугольника АВС, пересекаются в точке О.

Тогда АО+ОВ1> AB1 и BO+OA1>A1B, значит АО+ОВ1+ВО+ОА1> AB1+BA1, отсюда следует, что

АА1+ВВ1>0.5(AC+BC)

 

Answer 2

 AB=c, AC=b , BC=a и  CМ=m
 F – точка пересечения
прямой СМ и прямой,
проходящей через А
параллельно прямой ВС.
Ясно, что треуголник MAF=треугольнику MBC (по
стороне с\2 и двум
прилежащим углам)Получили, что MF=MC=m и AF=BC=a .По неравенству треугольника для треугольника AFC имеем: a+b больше чем 2m или m меньше чем ((a+b)/2)

Answer 3

Допустим, у нас есть треугольник ABC, и медианы AM и BN проведены к сторонам BC и AC соответственно. Нам нужно доказать, что сумма медиан AM и BN больше полусуммы сторон BC и AC.

Пусть M и N - середины сторон BC и AC соответственно. Длины сторон и медиан обозначим как a, b и m, n соответственно.

Так как M и N - середины сторон BC и AC, то BM = MC и AN = NC.

Из этого следует, что AM = BM и BN = AN.

Полусумму сторон BC и AC можно записать как (BC + AC)/2.

Теперь мы хотим доказать, что AM + BN > (BC + AC)/2. Подставим AM и BN в это неравенство:

AM + BN > (BC + AC)/2

BM + AN > (BC + AC)/2

Так как BM = MC и AN = NC, получаем:

BC + AC > (BC + AC)/2

Теперь умножим обе части неравенства на 2:

2(BC + AC) > BC + AC

Раскроем скобки:

2BC + 2AC > BC + AC

Теперь вычтем BC и AC из обеих частей неравенства:

BC + AC > 0

Так как длины сторон всегда положительны, то это неравенство всегда верно.

Таким образом, мы доказали, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон, к которым эти медианы проведены.