Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна С. Найдите сумму квадратов медиан.

Answer 1

По свойствам прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе равняется половине гипотенузы, следовательно:
$m_c=\frac{1}{2}c\\m^2_c=\frac{1}{4}c^2$
Две других медианы вычислим по теореме Пифагора:
$m^2_b=a^2+\frac{1}{4}b^2\\ m^2_a=\frac{1}{4}a^2+b^2$
Таким образом, сумма квадратов медиан будет равна:
$m^2_a+m^2_b+m^2_c=\frac{1}{4}a^2+b^2+a^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{4}c^2=\\=c^2+\frac{1}{4}*(a^2+b^2)+\frac{1}{4}c^2=c^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{4}b^2=1\frac{1}{2}c^2.$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо знать формулу для вычисления суммы квадратов медиан прямоугольного треугольника.

Медианы прямоугольного треугольника - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. В прямоугольном треугольнике медианы делятся пополам каждой стороны, поэтому их длины равны половине длины соответствующих сторон.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

Тогда длины медиан треугольника равны: m1 = 0.5 * a m2 = 0.5 * b m3 = 0.5 * c

Сумма квадратов медиан вычисляется по формуле: S = m1^2 + m2^2 + m3^2

Подставим значения медиан: S = (0.5 * a)^2 + (0.5 * b)^2 + (0.5 * c)^2 S = 0.25 * (a^2 + b^2 + c^2)

Таким образом, сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 0.25 * (a^2 + b^2 + c^2).