Question

В параболу с параметром,равным p , вписан равносторонний треугольник ABC . оДНА ВЕРШИНА ТРЕУГОЛЬНИКА совпадает с вершиной параболы. Найдите сторону треугольника.

Answer 1

По-видимому, речь идет о канонической форме уравнения параболы

y = 2*p*x^2;

Пусть координата одной из вершин (x, y), тогда сторона треугольника равна 2*х, и из теоремы Пифагора

x^2 + y^2 = (2*x)^2;

y^2 = 3*x^2;

(2*p)^2*x^4 = 3*x^2;

x^2 = 3/(2*p)^2;

x = √3/(2*p);

Сторона треугольника равна √3/р

Answer 2

Для решения задачи нам необходимо найти сторону равностороннего треугольника, вписанного в параболу.

Парабола с параметром p имеет уравнение y^2 = 4px.

Из условия задачи известно, что одна вершина треугольника совпадает с вершиной параболы, поэтому вершина треугольника имеет координаты (0, 0).

Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны. Пусть сторона треугольника равна a.

Также из условия задачи известно, что точка B находится на параболе. Пусть координаты точки B равны (x, y).

Тогда по определению параболы, для точки B должно выполняться уравнение y^2 = 4px.

Подставим координаты точки B в это уравнение:

y^2 = 4px y^2 = 4p * x y^2 = 4p * (a/2) (так как точка B находится на стороне треугольника, а сторона треугольника равна a) y^2 = 2pa

Так как точка B находится на параболе, а парабола имеет уравнение y^2 = 4px, то получаем:

2pa = 4px a = 2x

Таким образом, сторона треугольника равна 2x.

Осталось найти координаты точки B, чтобы найти x.

Так как точка B находится на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению y^2 = 4px.

Подставим координаты точки B в это уравнение:

y^2 = 4px y^2 = 4p * x (2a/√3)^2 = 4p * x (так как треугольник ABC равносторонний, то сторона треугольника равна a, а высота треугольника равна a/√3) 4a^2/3 = 4p * x a^2/3 = p * x x = a^2/(3p)

Таким образом, сторона треугольника равна 2x = 2 * a^2/(3p) = 2a^2/(3p).