Question

50 Баллов! Даны вершины треугольника A=(5;-2;0), B=(-1;-2;4), C=(3;-2;1). Найти его внутренний угол при вершине B.

Answer 1

АВ = √((-1-5)²+(-2+2)²+(4-0)²) = √(36+16) = √52 
ВС = √((3+1)²+(-2+2)²+(1-4)²) = √(16+9) = √25 
АС = √((3-5)²+(-2+2)²+(1-0)²) = √(4+1) = √5 
т.косинусов для стороны АС (против угла В): 
5 = 52+25 - 2*√(52*25)*cosB 
cosB = 72 / (20√13) = 3.6 / √13 ≈≈ 0.99846 
∡B ≈≈ 3°

Answer 2

A=(5;-2;0), B=(-1;-2;4), C=(3;-2;1). Найти его внутренний угол при вершине B, То есть найти угол между векторами ВА и ВС.

|BА| = √((Xa-Xb)²+(Ya-Yb)²+(Za-Zb)²) = √(6²+0²+(-4)²) = √52.
|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²+(Zc-Zb)²) = √(4²+0²+(-3)²) = 5.
cos(BA^BC)=(Xba*Xbc+Yba*Ybc+Zba*Zbc)/[√(Xba²+Yba²+Zba²)*√(Xbc²+Ybc²+Zbc²)].
В нашем случае:
CosB=(24+0+12)/(5√52)  ≈ 36/36,055513 ≈ 0,99846.
<B=arccos(0,99846) ≈3,2°.

Answer 3

Для нахождения внутреннего угла при вершине B в треугольнике ABC, можно использовать теорему косинусов. Эта теорема связывает стороны треугольника с косинусами его углов.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике ABC, где a, b и c - длины сторон противолежащих углов A, B и C соответственно, и где α, β и γ - внутренние углы при вершинах A, B и C соответственно, справедливо следующее соотношение:

c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(γ)

Давайте найдем стороны треугольника ABC, используя координаты его вершин:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2) CA = √((x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2 + (z1 - z3)^2)

Подставим значения координат вершин треугольника ABC, полученные из задачи:

AB = √((-1 - 5)^2 + (-2 - (-2))^2 + (4 - 0)^2) BC = √((3 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 4)^2) CA = √((5 - 3)^2 + (-2 - (-2))^2 + (0 - 1)^2)

AB = √((-6)^2 + (0)^2 + (4)^2) BC = √((4)^2 + (0)^2 + (-3)^2) CA = √((2)^2 + (0)^2 + (-1)^2)

AB = √(36 + 16) BC = √(16 + 9) CA = √(4 + 1)

AB = √52 BC = √25 CA = √5

Теперь, используя теорему косинусов, мы можем вычислить косинус угла B:

cos(β) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2*a*c)

где a = BC, b = CA и c = AB.

cos(β) = (25 + 5 - 52) / (2*√25*√5) cos(β) = -22 / (2*5) cos(β) = -22 / 10 cos(β) = -11/5

Теперь мы можем найти β, используя обратный косинус (арккосинус) функции:

β = arccos(cos(β)) β = arccos(-11/5)

Обратите внимание, что результат arccos может быть выражен в радианах или градусах. Чтобы получить результат в градусах, преобразуйте его, умножив на (180/π):

β (в радианах) = arccos(-11/5) β (в градусах) = arccos(-11/5) * (180/π)

Таким образом, мы можем найти внутренний угол при вершине B в треугольнике ABC.