Question

Докозательство о теореме перпендикулярности прямой и плоскости

Answer 1

)))))))))))))))))))))))

Answer 2

Извините за возможные недоразумения, но ваш запрос кажется немного неполным или содержащим ошибки в написании. Вероятно, вы хотели узнать о доказательстве теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости в трехмерном пространстве. Если это так, вот более подробное объяснение.

Теорема:

Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, то вектор, задающий направление прямой, ортогонален вектору нормали к плоскости.

Доказательство:

Предположим, у нас есть прямая \(l\), заданная параметрически как \(\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v}\), где \(\vec{r}_0\) — начальная точка прямой, \(\vec{v}\) — направляющий вектор прямой, и \(t\) — параметр.

Также у нас есть плоскость \(\Pi\), заданная уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \((A, B, C)\) — нормальный вектор к плоскости.

Теперь предположим, что прямая \(l\) пересекает плоскость \(\Pi\) в точке \((x_0, y_0, z_0)\). Подставим эту точку в уравнение плоскости:

\[A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 0.\]

Теперь найдем вектор направления прямой в этой точке:

\[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r}_0 + t\vec{v}) = \vec{v}.\]

Таким образом, вектор направления прямой \(\vec{v}\) совпадает с направляющим вектором прямой в точке пересечения. Это означает, что вектор направления прямой лежит в плоскости \(\Pi\).

Теперь заметим, что вектор нормали к плоскости \(\Pi\), обозначенный как \(\vec{n} = (A, B, C)\), также лежит в плоскости \(\Pi\). Поскольку вектор \(\vec{v}\) лежит в плоскости \(\Pi\) и ортогонален вектору \(\vec{n}\), мы можем сказать, что прямая \(l\) пересекает плоскость \(\Pi\) под прямым углом.

Это является доказательством теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости.