Question

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите , что центр описанной около неё окружности лежит на окружности , описанной около треугольника APB.

Answer 1

угол АРВ равен центральному углу дуги АВ (соостветствующей хорде АВ) в окружности, описанной вокруг трапеции. Можно сослаться на теорему о угле между секущими, а можно и сделать вид, что её не занешь, и по ходу её джоказаьб - для этого надо через D провести прямую II АС, и угол между ней и DB будет измерять двумя дугами АВ (дуга СD такая же). 

На самом деле уже доказано, что окружность, описанная вокруг АВР пройдет через О (центр описанной окружности), поскольку из О и Р отрезок АВ виден под одинаковым углом. Но мы опять сделаем вид ,что этого не понимаем, и продолжим доказывать :)))

Если мы проведем перпендикуляр через середину АВ, то он пройдет через О. И лучи ОА и ОВ будут составлять между собой угол, равный АРВ. Если же мы проведем окружность через А В и Р, то она это препендикуляр пересечет в какой-то точке, из которой АВ будет виден под таким же углом. В силу 5 постулата ЕВКЛИДА (не больше, не меньше :))) такая точка может быть только одна.... все !:))) Если бы через заданную точку можно было бы провести ДВЕ прямые под одинаковым углом, все геометрия бы пошла насмарку :)))

Answer 2

Давайте рассмотрим данную равнобедренную трапецию ABCD и обозначим точку пересечения диагоналей P. Поскольку ABCD - равнобедренная трапеция, у неё параллельные основания AB и CD, и равные углы при основаниях.

Также, из равнобедренности, мы знаем, что AC и BD - это диагонали трапеции, и они равны. Обозначим их точку пересечения за O.

Теперь рассмотрим треугольники ACP и BDP. Они подобны друг другу, так как у них есть два угла, равных из-за параллельности AB и CD, и третий угол, общий для обоих треугольников (угол при P). Из подобия треугольников мы можем заключить, что соответствующие стороны пропорциональны.

Так как AC и BD равны, то отношение AP к BP также равно 1, что означает, что P делит диагональ AB пополам (AP = BP). Теперь давайте рассмотрим треугольники APB и CPD.

Мы знаем, что углы APC и BPD - это углы трапеции, и они равны из-за параллельности оснований. Также, у нас есть угол APB, который является вертикальным углом к углам APC и BPD. Итак, у нас есть два угла APB и BPD, которые дополняются до прямого угла, и угол APC, который также дополняется до прямого угла с углом BPD.

Таким образом, мы видим, что угол APC равен углу BPD, и углы BPD и APB дополняют друг друга до прямого угла. Из этого следует, что угол APB равен углу APC.

Теперь рассмотрим центр окружности, описанной вокруг треугольника APB. Пусть это будет точка O'. Так как угол APB равен углу APC, то эти два угла опираются на одну и ту же дугу AB окружности, описанной вокруг треугольника APB. Следовательно, точка O' также лежит на этой окружности.

Таким образом, мы доказали, что центр окружности, описанной вокруг треугольника APB, лежит на окружности, описанной вокруг трапеции ABCD.