Question

Основание Bc равнобедренного треугольника ABC равно 24 AB = 15. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках E и H. Найдите EH

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства вписанной окружности и равнобедренного треугольника.

Свойства вписанной окружности

В равнобедренном треугольнике, если окружность вписана и касается боковых сторон в точках E и H, то отрезки, проведенные от вершины треугольника до точек касания, равны между собой. То есть AE = AH.

Решение

Мы знаем, что основание BC равнобедренного треугольника ABC равно 24 и AB = 15.

Введем обозначение: пусть точка касания вписанной окружности с боковой стороной BC обозначена буквой F.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, то отрезки AF и CF равны между собой. Пусть их длина равна x.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AFE:

AE^2 = AF^2 + EF^2

Мы знаем, что AE = AH, а также, что AB = 15 и BC = 24. Поэтому AE = AB - BE = 15 - x и AH = AB - BH = 15 - x.

Также, так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = BC/2 = 24/2 = 12.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BDF. В этом треугольнике BD = 12, а также BF = CF = x (по свойству вписанной окружности).

Используя теорему Пифагора для треугольника BDF, мы можем записать:

BF^2 + DF^2 = BD^2

x^2 + DF^2 = 12^2

x^2 + DF^2 = 144

Теперь рассмотрим треугольник ADF. В этом треугольнике AD = AE + EF = (15 - x) + DF.

Используя теорему Пифагора для треугольника ADF, мы можем записать:

AD^2 = AF^2 + DF^2

(15 - x + DF)^2 = x^2 + DF^2

Раскроем скобки и упростим:

225 - 30x + x^2 + 2(15 - x)DF + DF^2 = x^2 + DF^2

225 - 30x + 30DF - 2xDF = 0

После упрощения получаем:

225 - 30x + 30DF - 2xDF = 0

225 - 30x + 30DF = 2xDF

15 - x + DF = x

2x + DF = 15

DF = 15 - 2x

Таким образом, мы получили выражение для длины отрезка DF в зависимости от x.

Теперь найдем отрезок EH. По свойству вписанной окружности, EH = 2DF.

EH = 2(15 - 2x)

EH = 30 - 4x

Таким образом, длина отрезка EH равна 30 - 4x.