Question

В треугольнике АВС со стороной АВ, равной 10 см, проведены высоты АТ и СД. Найдите сторону треугольника ВС, если АТ=8см, СД=12см. с решением плиз

Answer 1

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Из подобия тр-ков АВТ и ВСД (прямоугольные, с общим острым углом В) иммем АТ/ДС=АВ/АС или 8/12=10/ВС. ВС=15

Answer 2

Конечно, это задача на нахождение стороны треугольника по заданным высотам.

Для начала, давайте вспомним, как связаны площади треугольников, образованных высотами треугольника:

Пусть \(S_{ABC}\) - площадь треугольника \(ABC\), \(h_a\) - высота, проведенная к стороне \(BC\), \(h_b\) - к стороне \(AC\), \(h_c\) - к стороне \(AB\). Тогда:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a\]

Из этого можно выразить стороны треугольника через высоты:

\[AB = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{h_c}\] \[AC = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{h_b}\] \[BC = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{h_a}\]

Теперь, если нам известны высоты \(AT = 8\) см и \(CD = 12\) см, мы можем использовать формулы, чтобы найти площадь треугольника \(ABC\):

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\]

Сначала найдем площадь треугольника \(ABC\) через высоту \(AT\):

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40\ \text{см}^2\]

Теперь у нас есть площадь треугольника \(ABC\). Мы можем найти сторону \(BC\) через высоту \(CD\) используя формулу:

\[BC = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{h_a} = \frac{2 \cdot 40}{12} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} = 6.\overline{6}\ \text{см}\]

Таким образом, сторона \(BC\) треугольника \(ABC\) равна примерно \(6.\overline{6}\) см.