Question

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, у которого гипотенуза АВ=8 см, проведен к плоскости треугольника перпендикуляр СР, а точка Р соединена с вершинами А и В. Плоскости треугольников АРВ и АВС образуют между собой угол 60°. Найти: длину перпендикуляра СР; площадь ΔАРВ, угол между прямой АР и плоскостью ΔАВС.

Answer 1

Использованы свойства равнобедренного прямоугольного треугольника

Answer 2

Давай разберем задачу шаг за шагом. У нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\), где гипотенуза \(AB\) равна \(8\) см. Треугольник \(ABC\) выглядит так:

\(AB = 8\) см (гипотенуза) \(AC = BC\) (равные катеты)

Также дано, что через вершину прямого угла \(C\) проведена перпендикулярная плоскость \(CR\), а точка \(R\) соединена с вершинами \(A\) и \(B\). Плоскости треугольников \(ARV\) и \(ABC\) образуют между собой угол \(60^\circ\).

1. Длина перпендикуляра \(CR\):

Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный прямоугольный, мы знаем, что угол \(C\) равен \(90^\circ\). Также, из условия, у нас имеется угол \(60^\circ\) между плоскостями треугольников \(ARV\) и \(ABC\).

Так как \(ABC\) равнобедренный, то \(AC = BC\). Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол \(A\) равен углу \(B\), то есть \(A = B\). Значит, в прямоугольном треугольнике \(ABC\) у нас два угла \(30^\circ\) и один \(90^\circ\).

Теперь у нас есть правильный треугольник \(ACR\), где мы знаем два угла: \(90^\circ\) и \(30^\circ\). Из соотношений в прямоугольных треугольниках мы можем вычислить длину стороны \(AC = CR = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\) см.

2. Площадь треугольника \(ARV\):

Площадь треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). У нас есть основание \(AV\) и высота \(CR\). Таким образом, \(S = \frac{1}{2} \times AV \times CR\).

\(AV = AB = 8\) см, \(CR = 4\sqrt{2}\) см (как мы уже вычислили).

Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\) кв. см.

3. Угол между прямой \(AR\) и плоскостью треугольника \(ABC\):

Этот угол можно найти как дополнение к углу \(60^\circ\), который мы уже имеем между плоскостями \(ARV\) и \(ABC\). Итак, угол между прямой \(AR\) и плоскостью \(ABC\) будет \(90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Итак, мы нашли: - Длину перпендикуляра \(CR = 4\sqrt{2}\) см. - Площадь треугольника \(ARV = 16\sqrt{2}\) кв. см. - Угол между прямой \(AR\) и плоскостью треугольника \(ABC = 30^\circ\).