Question

В треугольнике ABC проведены биссектриса AX, медиана BY, высота CZ. Треугольник XYZ- равносторонний. Докажите, что треугольник ABC- равносторонний.

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник AZC
ZY- медиана прямоугольного треугольника проведённая к гипотенузе , значит ZY=AY=YC
Так как треугольник XYZ равносторонний , то стороны YX и XZ тоже равны половине стороны АС 
XY=YZ=ZX=AY=YC
Значит треугольник AXC тоже прямоугольный. Так как медиана проведённая к большей из его сторон равна половине этой стороны.
Значит АX - высота, но  AX и биссектриса , а это значит, что треугольник АВС является равнобедренным . Также АX может быть медианой, а это значит что ВХ=ХС 
ZX- медиана прямоугольного треугольника BZC (CZ⊥AB по условию)
Значит ZX=BX=XC, ZX=XY=YZ=YC=YA=AY=YB ⇒  AB=BC=CA 

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC является равносторонним, давайте рассмотрим проведенные биссектриса, медиана и высота в данном треугольнике.

1. Пусть \(AD\) - биссектриса треугольника ABC, \(BE\) - медиана, \(CF\) - высота. Также пусть точка \(O\) - точка пересечения медиан.

2. Из условия известно, что треугольник \(XYZ\) является равносторонним. Таким образом, \(XY = XZ = YZ\).

3. Также известно, что в равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы совпадают.

Теперь докажем, что треугольник \(ABC\) равносторонний, используя свойства биссектрисы, медианы и высоты:

- По свойству биссектрисы: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\). - По свойству медианы: \(2 \cdot OE = BE\). - По свойству высоты: \(CF \perp AB\), \(CH\) - высота, где \(H\) - основание высоты.

Теперь рассмотрим отношение сторон треугольника \(ABC\):

\[\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \quad \text{(по биссектрисе)}\]

\[\frac{AB}{AC} = \frac{2 \cdot OE}{CF} \quad \text{(по медиане)}\]

После этого возможно использовать свойство треугольников подобных друг другу:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{2 \cdot OE}{CF} = \frac{AB}{CH}\]

Сокращая обе стороны на \(AB\), получаем:

\[\frac{1}{AC} = \frac{2 \cdot OE}{CF} = \frac{1}{CH}\]

Отсюда следует, что \(CH = CF\), то есть \(C\) является серединой отрезка \(AB\).

Теперь мы видим, что медиана \(BE\) также проходит через точку \(C\) (середину стороны \(AB\)), что говорит о том, что треугольник \(ABC\) равносторонний.