Question

Дан параллелограмм АВСД, О - точка пересечения диагоналей. Периметр треугольника АОВ равен 21 см, периметр треугольника ВОС равен 24 см, а сторона СД=6см. Найти периметр параллелограмма АВСД.

Answer 1

Периметр параллелограмма равен 90 см

Answer 2

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Также в параллелограмме диагонали делятся пополам.

Обозначим стороны параллелограмма как \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), и \(DA = d\). Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. Периметр треугольника \(AOV\) равен 21 см. 2. Периметр треугольника \(BOS\) равен 24 см. 3. Сторона \(CD\) равна 6 см.

Мы можем записать уравнения для периметров треугольников:

\[ AO + OV + VA = 21 \]

\[ BO + OS + SB = 24 \]

Так как диагонали делятся пополам, то \( AO = OD \) и \( VA = VB \). Аналогично, \( BO = OC \) и \( SB = SD \).

Теперь можем переписать уравнения:

\[ OD + OV + VB = 21 \]

\[ OC + OS + SD = 24 \]

Также известно, что \( SD = c = 6 \).

Теперь давайте выразим \( OD \) и \( OC \) через стороны параллелограмма:

\[ OD = \frac{a}{2} \]

\[ OC = \frac{b}{2} \]

Теперь подставим эти выражения в уравнения:

\[ \frac{a}{2} + OV + VB = 21 \]

\[ \frac{b}{2} + OS + 6 = 24 \]

Теперь выразим \( OV \) и \( OS \):

\[ OV = 21 - \frac{a}{2} - VB \]

\[ OS = 18 - \frac{b}{2} \]

Также из условия параллелограмма \( VB = OD \) и \( OS = SD \), то есть:

\[ VB = \frac{a}{2} \]

\[ OS = 18 - \frac{b}{2} \]

Теперь мы можем записать уравнение для периметра параллелограмма:

\[ P_{\text{параллелограмма}} = a + b + c + d \]

Подставим значения:

\[ P_{\text{параллелограмма}} = a + b + 6 + \frac{a}{2} + \frac{b}{2} \]

Упростим:

\[ P_{\text{параллелограмма}} = \frac{3a}{2} + \frac{3b}{2} + 6 \]

Теперь подставим выражения для \(a\) и \(b\) через стороны треугольников:

\[ P_{\text{параллелограмма}} = \frac{3}{2} \cdot (AO + BO) + 6 \]

Подставим значения для периметров треугольников:

\[ P_{\text{параллелограмма}} = \frac{3}{2} \cdot (21 + 24) + 6 \]

\[ P_{\text{параллелограмма}} = \frac{3}{2} \cdot 45 + 6 \]

\[ P_{\text{параллелограмма}} = \frac{135}{2} + 6 \]

\[ P_{\text{параллелограмма}} = \frac{147}{2} \]

Таким образом, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(\frac{147}{2}\) см.