Question

в четырехугольнике ABCD АВ=6, ВС=9, CD=4 Найдите AD если в четырехугольник вписана окружность

Answer 1

РЕШЕНИЕ:

Отрезки от вершины до точки касания равны

АВ + CD = AD + BC;

6 + 4 = AD + 9;

AD = 1 (см.)

Ответ: АD = 1 cм.

Answer 2

Введение

В данном вопросе рассматривается четырехугольник ABCD, в котором стороны AB, BC и CD имеют заданные значения. Также известно, что внутри этого четырехугольника вписана окружность. Задача состоит в нахождении длины стороны AD.

Решение

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанного четырехугольника и окружности.

Свойства вписанного четырехугольника:

1. Противоположные углы вписанного четырехугольника равны. 2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов.

Свойства окружности:

1. Хорда, проходящая через центр окружности, делит окружность на две равные части. 2. Линия, соединяющая центр окружности с точкой касания с хордой, перпендикулярна хорде.

Решение задачи

Давайте обратимся к свойствам вписанного четырехугольника. Известно, что противоположные углы вписанного четырехугольника равны. Поэтому угол ABC равен углу CDA.

Теперь давайте рассмотрим свойства окружности. Линия, соединяющая центр окружности с точкой касания с хордой, перпендикулярна хорде. Это значит, что линия, проведенная из центра окружности к точке касания окружности с стороной AB, будет перпендикулярна стороне AB. Аналогично, линия, проведенная из центра окружности к точке касания окружности с стороной CD, будет перпендикулярна стороне CD.

Таким образом, мы можем провести линии из центра окружности к точкам касания окружности с каждой из сторон AB, BC и CD. Поскольку эти линии перпендикулярны соответствующим сторонам, они разделяют стороны на равные отрезки. Обозначим точку, где линия из центра окружности пересекается со стороной AB, как P, точку, где она пересекается со стороной BC, как Q, и точку, где она пересекается со стороной CD, как R.

Теперь у нас есть равные отрезки AP, BP, BQ, CQ, CR и DR. Мы можем использовать эти равные отрезки для нахождения длины стороны AD.

Обозначим длину стороны AD как x. Тогда AP равно x и PR равно x. Мы также знаем, что AB равно 6, BC равно 9 и CD равно 4. Используя эти значения, мы можем записать следующие уравнения:

AP + BP = AB x + BP = 6

BQ + CQ = BC BP + x = 9

CR + DR = CD x + DR = 4

Теперь мы можем решить эти уравнения для нахождения значения x, которое представляет собой длину стороны AD.

x + BP = 6 BP + x = 9 x + DR = 4

Суммируя эти уравнения, мы получим:

2x + BP + DR = 19

Теперь давайте рассмотрим свойство вписанного четырехугольника, которое гласит, что сумма противоположных углов равна 180 градусов. Из этого свойства следует, что угол ABC + угол CDA = 180 градусов. Так как угол ABC равен углу CDA, мы можем записать уравнение:

2 * угол ABC = 180 градусов

Решим это уравнение, чтобы найти значение угла ABC.

2 * угол ABC = 180 градусов угол ABC = 90 градусов

Теперь мы знаем, что угол ABC равен 90 градусов. Мы также знаем, что угол ABC является прямым углом, поскольку одна из его сторон является диаметром окружности. Это означает, что сторона BC является диаметром окружности, и центр окружности лежит на стороне BC.

Мы можем использовать это свойство, чтобы найти значения BP и DR. Поскольку линия, проведенная из центра окружности к точке касания окружности с хордой, является высотой прямоугольного треугольника, то BP и DR являются половинами стороны BC. Таким образом, мы можем записать:

BP = 0.5 * BC BP = 0.5 * 9 BP = 4.5

DR = 0.5 * CD DR = 0.5 * 4 DR = 2

Теперь мы можем заменить значения BP и DR в уравнении:

2x + BP + DR = 19 2x + 4.5 + 2 = 19 2x + 6.5 = 19 2x = 19 - 6.5 2x = 12.5 x = 12.5 / 2 x = 6.25

Таким образом, длина стороны AD равна 6.25.

Ответ

Длина стороны AD в четырехугольнике ABCD, в котором вписана окружность, равна 6.25.