Question

Помогите пожалуйста . В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 15 м , а апофема 17 м. Найдите площадь полной поверхности и объем пирамиды

Answer 1

Сначала найдем проекцию апофемы на основание пирамиды = sqrt (17^2 - 15^2) = sqrt (289 - 225) = sqrt(64) = 8  .
 Как известно, величина проекции равна половине стороны основания . Сторона основания равна = 8*2 = 16 .
Площадь полной поверхности пирамиды равна  S =1/2 * A* a * 4 + Sосн = 2 *A* a + a^2, где A - апофема ,  a - сторона основания призмы .
Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 * Sосн * h = 1/3 * a^2 * h , где   a - сторона основания ,    h  - высота пирамиды . S = 2 * 17 * 16 + 16^2 = 544 + 256 = 800  
V = 1/3 * 16^2 * 15 = 1/3 * 256 *15 = 1280 

Answer 2

Для решения задачи по найдению площади полной поверхности и объема четырехугольной пирамиды, у нас есть высота и апофема. Первым шагом рассмотрим основание пирамиды как четырехугольник, представим его как два треугольника, соединенных диагональю.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны основания (через \(a\) и \(b\) можно рассматривать любые две стороны четырехугольника, так как он выпуклый и у него нет противоположных углов больше 180 градусов). Также пусть \(h\) - высота пирамиды, \(l\) - апофема.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех треугольников. Для одного из них:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды:

\[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a+b}{2} \cdot h \]

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}} = a \cdot b \]

Итак, площадь полной поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]

Теперь можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

Вставим известные значения и решим задачу.