Question

Очень срочно!!! точки А(14; -8;-1), Б(7; 3; -1), С(-6; 4; -1), д(1; -7; -1) є вершинами ромба. Знайти cos тупого кута ромба.

Answer 1

Ищем косинусы углов и выбираем тот косинус, который отрицателен.

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла между двумя векторами, нам понадобится знание скалярного произведения векторов. Для начала найдем векторы, соединяющие вершины ромба.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно найти вычитанием координат точек \(B\) и \(A\): \[ \overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 7 - 14 \\ 3 - (-8) \\ (-1) - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = \begin{bmatrix} -6 - 7 \\ 4 - 3 \\ (-1) - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -13 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Вектор \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix} 1 - (-6) \\ (-7) - 4 \\ (-1) - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -11 \\ 0 \end{bmatrix} \]

И, наконец, вектор \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{DA} = \begin{bmatrix} 14 - 1 \\ (-8) - (-7) \\ (-1) - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем скалярные произведения векторов \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\).

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-7) \cdot (-13) + 11 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 91 + 11 = 102 \]

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-7) \cdot 7 + 11 \cdot (-11) + 0 \cdot 0 = -49 - 121 = -170 \]

Теперь используем формулу для косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{CD}\|} \]

где \(\|\overrightarrow{AB}\|\) и \(\|\overrightarrow{CD}\|\) - это длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) соответственно.

Длины векторов:

\[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-7)^2 + 11^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170} \]

\[ \|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{7^2 + (-11)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170} \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{-170}{\sqrt{170} \cdot \sqrt{170}} = \frac{-170}{170} = -1 \]

Таким образом, косинус тупого угла ромба равен -1.