Question

Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, находится вне этого треугольника, если его угол C наибольшмий. Найдите величину угла C если площадь треугольника равна 2\/3 см^2, а AC= 2 см, BC=4 см.

Answer 1

Площадь треугольника находится по формуле

$S_\Delta=0,5*a*b*\sin\angle (a,b)$

 

В данном случае это будет выглядеть как

 

$S_{\Delta\,ABC}=0,5*AC*BC*\sin\angle C$

 

Подставим известные значения

 

$2\sqrt{3}=0,5*2*4*\sin\angle C$

 

$2\sqrt{3}=4*\sin\angle C$

 

$\sin\angle C=\frac{2\sqrt{3}}{4}$

 

$\sin\angle C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

$\angle C=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in Z$

 

В данном случае может быть два ответа.

 

при n=0, $\angle C=\frac{\pi}{3}$, то есть 60 градусов. Но так как угол С - наибольший, то другие углы должны быть меньше 60 градусов. Этого быть не может. Так как на другие углы приходиться 180-60=120 градусов. Здесь применена теорема о том, что сумма углов треугольника в геометрии Евклида равна 180 градусам. В любом случае хотя бы один из двух оставшихся углов будет больше или равен 120:2=60  градусов. В этом случае не выполняется условие наибольшести угла С.

 

Значит при n=1

 

$\angle C=-\frac{\pi}{3}+2\pi$

 

$\angle C=\frac{2\pi}{3}$

 

$\angle C=120^\circ$

 

Этот ответ подходит. Так как в этом случае угол С будет наибольшим. На оставшиеся два угла придется 180-120=60 градусов.

 

Ответ:

 

$\angle C=120^\circ$