Question

На рисунке изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Answer 1

Провести луч из этой точки и посчитать сколько раз он пересечет многоугольник. Если количество пересечений нечетное, то точка внутри многоугольника. Если четное - снаружи.

Это так, потому что каждый раз при движении по лучу и переходе через границу многоугольника, мы переходим изнутри наружу, или наоборот.

Answer 2

Для определения принадлежности точки многоугольнику можно использовать метод пересечения луча. Этот метод основывается на том, что если провести луч из точки в бесконечность в любом направлении и посчитать количество пересечений этого луча с границами многоугольника, то по четности или нечетности этого количества можно судить о том, лежит ли точка внутри или снаружи многоугольника.

Если количество пересечений луча с границами многоугольника четное, то точка находится снаружи многоугольника. Если количество пересечений нечетное, то точка находится внутри многоугольника.

Этот метод основывается на том, что луч, выпущенный из точки, пересечет границы многоугольника четное количество раз, когда точка находится снаружи, и нечетное количество раз, когда точка внутри.

Однако стоит отметить, что для особенных случаев, таких как точки, лежащие на границе многоугольника, этот метод может давать неправильные результаты. Для более точного решения таких задач можно использовать алгоритмы, такие как "алгоритм точного пересечения" или "алгоритм вращающихся лучей".