Question

Срочно нужно решение!!! Заранее СПС... Докажите, что параллелограмм ABCD, задан координатами своих вершин A(4;1), B(0;4), C(-3;0), D(1;-3), является квадратом.

Answer 1

Дано:

A(4;1),

B(0;4),

C(-3;0),

D(1;-3)

Доказать, что АВСD - квадрат.

----------------------------

$A(4;1), B(0;4), C(-3;0), D(1;-3) \\ AB=\sqrt{(0-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5 \\ BC = \sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ CD=\sqrt{(1-(-3))^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{4^2+3^2}=5 \\ AD=\sqrt{(1-4)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{3^2+4^2}= 5 \\ AB=BC=CD=AD = 5 => ABCD\ - Romb \\ AC=\sqrt{(-3-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{50} \\ BD=\sqrt{(1-0)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{50} \\ AC=BD =>$

следовательно, ABCD - прямоугольник.

Единственная фигура, являющаяся прямоугольником и ромбом одновременно, - это квадрат.

К тому же сумма квадратов двух сторон равна квадрату диагонали.

5² + 5² = 25 + 25 = 50 = (√50)²

 

Ч. т. д.

Answer 2

Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является квадратом, нужно проверить выполнение двух условий: все стороны параллелограмма должны быть равными, и все углы должны быть прямыми.

1. Проверка равенства сторон: Используем расстояние между точками для вычисления длин сторон параллелограмма:

- Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(4-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] - Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(0-(-3))^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Длина стороны CD: \[ CD = \sqrt{((-3)-1)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] - Длина стороны DA: \[ DA = \sqrt{(4-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Все стороны параллелограмма ABCD равны 5, следовательно, условие 1 выполняется.

2. Проверка прямых углов: Для проверки прямых углов используем угловой коэффициент. Угол между двумя отрезками равен 90 градусам, если и только если их угловые коэффициенты равны и обратно пропорциональны (противоположны).

- Угловой коэффициент AB: \[ m_{AB} = \frac{(4-1)}{(0-4)} = \frac{3}{-4} \] - Угловой коэффициент BC: \[ m_{BC} = \frac{(4-0)}{(-3-0)} = \frac{4}{-3} \] - Угловой коэффициент CD: \[ m_{CD} = \frac{(0-(-3))}{(1-(-3))} = \frac{3}{4} \] - Угловой коэффициент DA: \[ m_{DA} = \frac{(1-(-3))}{(4-1)} = \frac{4}{3} \]

Ни один из угловых коэффициентов не равен другому, следовательно, углы не являются прямыми.

Таким образом, параллелограмм ABCD с заданными координатами вершин A(4;1), B(0;4), C(-3;0), D(1;-3) не является квадратом, так как не выполняется условие прямых углов.