Question

Докажите что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам

Answer 1

дана трапеция ABCD

EM - средняя линия

пересекает диагонали в точках К и N

AC и BD - диагонали

 

из свойств средней линии трапеции: EM||BC||AD

CM=MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку N.

AE=EM и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку K.

Следовательно: AK=CK и DN=BN

 

можно также доказать через треугольники ABC и DCB - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, значит диагонали пересекаются пополам.

Answer 2

Средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам. Давайте докажем это.

Доказательство:

Предположим, что у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно.

Чтобы доказать, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам, нам нужно показать, что AM = MC и BN = ND.

Рассмотрим треугольник AMC. Поскольку M - середина диагонали AC, то по свойству серединного перпендикуляра AM = MC. То же самое можно сказать и о треугольнике BND, где BN = ND.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

Доказательство: - Предположим, что у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. - Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно. - Рассмотрим треугольник AMC. Поскольку M - середина диагонали AC, то по свойству серединного перпендикуляра AM = MC. - То же самое можно сказать и о треугольнике BND, где BN = ND. - Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.