Question

Медиана треугольника перпендикулярна его биссектрисе. Найдите наибольшее значение длины самой длинной стороны треугольника, если средняя по длине сторона отличается и от большей и от меньшей на 2.

Answer 1

Пусть дан треугольник АВС. 
ВМ - медиана к большей стороне АС, 
СК - биссектриса. 
СК ⊥ ВМ и пересекает её в точке Н. 
Пусть АВ средняя сторона и равна х, тогда
ВС=х-2
АС=х+2
Т.к. биссектриса СН ⊥ ВМ, она является  и высотой Δ ВСМ. 
Если высота и биссектриса  треугольника совпадают, треугольник - равнобедренный. 
МС=ВС=х-2
АМ=МС⇒
АС=2х-4
АС-АВ=2
2х-4-х=2
х=6⇒
АС=6+2=8

Answer 2

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c, где a ≥ b ≥ c.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. По условию, медиана треугольника перпендикулярна его биссектрисе.

Пусть медиана треугольника перпендикулярна стороне a. Тогда она делит сторону a на две равные части, то есть a/2.

Также известно, что средняя по длине сторона отличается и от большей, и от меньшей стороны на 2. Пусть средняя сторона равна b. Тогда b = a/2 + 2.

Так как a ≥ b ≥ c, то a/2 + 2 ≥ b ≥ c.

Найдем наибольшее значение длины самой длинной стороны треугольника. Так как a ≥ b ≥ c, то самая длинная сторона будет равна a.

Из выражения b = a/2 + 2 следует, что a = 2b - 4.

Таким образом, наибольшее значение длины самой длинной стороны треугольника будет равно 2b - 4.

Для нахождения этого значения необходимо знать значение средней стороны треугольника b. Если значение b известно, мы можем подставить его в выражение 2b - 4 и получить наибольшую длину самой длинной стороны треугольника.