Question

Докажите, что отрезки касательных к окружности , проведенные из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности

Answer 1

Доказательство во вложениях

 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r, а также точка A вне этой окружности. Проведем две касательные из точки A к окружности, которые касаются окружности в точках B и C.

Также проведем прямую, проходящую через точку A и центр окружности O. Обозначим точку пересечения этой прямой с окружностью за D.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, то отрезки AD и CD являются радиусами окружности. Также отрезки AB и AC являются касательными к окружности и, следовательно, тоже равны радиусу.

Из этого следует, что отрезки AB и AC равны между собой, так как они являются радиусами окружности.

Теперь рассмотрим углы ∠BAC и ∠BCA. Угол ∠BAC можно назвать "углом между касательной и радиусом". Угол ∠BCA можно назвать "углом между касательными".

Так как отрезки AB и AC равны, то углы ∠BAC и ∠BCA тоже равны, так как они соответственно являются углами между равными отрезками и прямыми линиями.

Таким образом, отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.