Question

Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD=DM=a. найдите площадь поверхности пирамиды

Answer 1

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и суммы площадей ее граней.
Основание - квадрат.
 Sосн=а²
Угол MDA=MDC по условию (МD перпендикулярна плоскости основания, следовательно, перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней).
СМ=АМ,т.к. их проекции CD=AD.⇒
⊿MDA=⊿MDC
По теореме о трех перпендикулярах
∠MAB=∠MCB=90°⇒
Боковые грани пирамиды - прямоугольные треугольники и попарно равны:
S⊿MDA=0,5a² 
S⊿MDC=0,5a²
АМ из треугольника MDA=а√2
S⊿MAB=S⊿MCВ=0,5а*а√2=0,5а²√2
Собираем площадь полной поверхности пирамиды:
Sосн+S⊿MDA+S⊿MDC+S⊿MAB+S⊿MCВ
Sполн=а²+2*0,5a²+2*0,5а²√2==2а²+а²√2=а²(2+√2)
-------
[email protected]

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади поверхности правильной пирамиды. Площадь поверхности \(S\) вычисляется суммой площади основания и площади боковой поверхности:

\[S = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой}}\]

1. Площадь основания (\(S_{\text{основания}})\): Поскольку основание - квадрат \(ABCD\), его площадь можно вычислить по формуле для площади квадрата: \(S_{\text{основания}} = a^2\).

2. Площадь боковой поверхности (\(S_{\text{боковой}})\): Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти, используя формулу: \(S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота боковой грани}\). Периметр квадрата \(ABCD\) равен \(4a\). Высота боковой грани равна ребру \(MD\). Таким образом, \(S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \times 4a \times MD\).

Теперь давайте сложим обе части для получения общей площади поверхности:

\[S = a^2 + \frac{1}{2} \times 4a \times MD\]

Учитывая, что \(MD\) - это высота боковой грани, которая также равна \(a\), мы можем упростить выражение:

\[S = a^2 + 2a^2\]

Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды равна \(3a^2\).